— 1. c2rꝰ sin 2⁰02 dco r sin cos dr= 5r. sin 2 0 dr= 5—, 9 22 cos 2⁰1%— 212² cr² sin 20⁰²

—= ain„2 5 ydx=— r sin dco-t-.Es Bo S 0

oder c² sin 2⁰02² dc-. — r2 C e) 2/1ſ 3) 49er 6 Cos 20. 3r 1I G 4); folglich 4) v= r2d, din 292.— sin)+ Const 6(2 cos 2⁰%— 21² 1 22) 8t.

Setzt man in diese Gleichung den Werth für r aus der zweiten Gleichung ein, so hängt das Integral nur von ab.

Fügt man der durch Gleichung 4) berechneten Fläche zwischen den Grenzen X= VC2 as und x= x noch den Inhalt des durch x und y bestimmten rechtwinkl.

Dreiecks, also 1v= 22 sin cos hinzu, so erhält man den Inhalt eines Sectors, nämlich:

5) Sector=.vGx Jr2 sin cos+‿ C.

§. 3. Quadratur der Lemniskaten a—c.

Nach Gleich. 2) ist ræ— c² cos 2 ⁰=+ V a4—*† sin 2w2, die Wurzel stets positiv zu nehmen, weil sonst r negativ sein müsste. Die Gleich. 3) nimmt daher die Form an

—-C2 sin 20. — dv=(c? cos 20⁰+ Val— c4sin 2⁰ 2)— sIn 22) dco.

Lässt man die Fläche bei= o, d. i. bei r 2= c2+. a2 ihren Anfang nehmen, so ist dx negativ, also auch ydx= dy negativ, folglich— dv positiv, so dass es gestattet ist zu schreiben duy statt— dv. Die weitere Entwickelung der letzten Gleichung führt dann auf

. 4 G04 sin 2 ²1 32 cos sin ²— c* sin ⁴+2 a2 sin 22(¹ 04 c4 sin 2⁰˙— 1 gin 4[1 S 6) do= dc 2. a2 Ssin G2 cos 6 21 2 4 4 Sin 2092— 1 64 G4. sin 2 ⁰92%— ¹ — 2. Wein a4 Cos 2(1— 1e— A à 1

Da c* sin 20⁰02— a4 ist, so lässt sich das Binomialtheorem benutzen, und wenn man alle Glieder, welche die vierte und noch höhere Potenzen von sin 2G enthalten, ver- nachlässigt, so ergiebt sich

dv= 30² sin ν os* do—(² sin ddo+ a2 sin 2dco 2⁰⁴

—2 sin ⁴ cos 2e......