Quadratur, Kubatur und Complanation

der

Lemniskaten.

§. 1. Grundgleichungen.

Die den folgenden Rechnungen zu Grunde liegenden Gleichungen sind folgende:

1) Ge+*) 2— 22K2 ²)+ 4— a4= o, die Mittelpunktsgleichung der Lemniskaten für rechtwinklige Coordinaten, wo 2c die Länge der gegebenen Grundlinie, a2 das constante Rechteck aus den beiden andern Seiten des Dreiecks bezeichnet.

Für Polarcoordinaten, wo der Radius Vector r= VXZ+ ist, w den Polarwinkel bedeutet, hat man y= r sin, X= r coso zu setzen, und man erhält die Gleichung: (14— 2 c?r? cos 2%+ 4— a4= o, oder auch

2) 12= GC2 cos 2 V al—* sin 220.

Die sehr verschiedenen Gestalten der Lemniskaten werden kurz unterschieden durch die Bezeichnung Lemniskate a=c, oder a= c, oder a=c, und im letzteren Falle wie- der a²= 2%2, oder az= 2 ², oder auch a²= 2-²; die zuletzt erwähnte, der Ellipse nahe kommende Curve auch Cassini'sche Curve genannt.

§. 2. Allgemeine Formeln für den Flächeninhalt.

Bezeichnet v den Flächenraum derjenigen ebenen Figur, welche durch die Diffe- renz 6β—« zweier Abscissen x= Gβ und X= a, sowie durch die zugehörigen beiden Ordinaten und durch den dazwischen liegenden Theil der Curve selbst begrenzt wird, so ist, wenn β,¶, für rechtwinkl. Coordinaten bekanntlich

= ſ

Wählt man Polarcoordinaten, so ist y=r sin, X= r cos, dx=— r sin do + cos dr und ydx=— r2 sin do+ r sin ο⸗s dr. Differenzirt man Gleich. 2), so . erhält man dr==, 1in 20) dco. Dann ist

cC2² cos 2⁰0— 12² 1*