m 120 Da die k gleichen Elemente 1 höchstens hinter I+m höhere, die| gleichen Ele- mente 2 höchstens hinter die m höheren Elemente 3 treten können, so ist

i,(1%, 2}, 3")= k(l-Fm)+ l-m=k-l+1-m+m«k. Und weil auch das System P(1*,2,3”) aus lauter paarweise oder sich selbst inversen

Permutationen besteht, deren Inversionszahlen sich zu i, ergänzen, bzw. gleich 5 sind, so muss

Iml ie, 2, 9m) Silit, 2!,3”) sein, folglich auch .; k+1 z 1 I(1%, 2, 3°)= in(1%, 2,3”)-P(%, 2,3")=, az 2\erı)C+3) ir):

Mit Hilfe dieser Werte lassen sich die aus der obigen Zusammenstellung sich ergebenden allgemeinen Formeln in die folgenden beiden Gruppen einordnen.

I. Mindestens zwei der drei Grössen k, I, m sind ungerade.

Ps(1%, 2,30 Bi FT)=zPus 2,30),

Is(1%, 21, 37)— Sıar, 21, 3m) F Allene):

I. Mindestens zwei von den drei Multiplizitäten k, I, m sind gerade.

Pelt%, 2,39)= Pt, 2.30) 10) 3),

En 151%, 2,3)= 110%, 2,39)+ 4-1, 15,2,.39)-(2))= arinltt 2, 30)-Pelis, 2, 37)

4 = Rekurzforstundein für Pd1F24 3") und; 1,4172, 37),

1. Diejenigen der P(1*, 2,3”), welche mit dem Element 1 anfangen, liefern die- selben Inversionszahlen wie die P(1%=1, 2, 3”).

2. Diejenigen unter ihnen, die mit 2 beginnen, ergeben dieselben Inversionen wie die P(1*,2!=1,3”), ausserdem in jeder Komplexion noch einen Zuwachs von je k In- versionen, weil das am Anfang stehende Element 2 überall vor K niedrigere Elemente 1 tritt. Ist k gerade, so ändert sich dadurch die Klasse der Permutationen nicht, bei ungeradem k werden die geraden Permutationen in ungerade verwandelt und umgekehrt.

3. Die mit 3 anfangenden Komplexionen von P(1',2!, 3”) liefern dieselben Inver- sionen wie die P(1*, 21,3"—!1) und stets noch in jeder Permutation eine Vermehrung der Inversionszahl um k-+1 Inversionen, da das höchste Element 3 jedesmal vor k-+I1 niedrigeren Elementen 1 und 2 steht. Dabei bleibt die Klasse der Permutationen die- selbe, wenn k+1 gerade ist, wenn also k% 1 entweder beide gerade oder beide ungerade sind; dagegen ändert sich die Klasse der Permutationen, wenn k+1 ungerade ist, d. h. wenn k und I nicht gleichzeitig gerade oder ungerade sind.

Wir erhalten daher wiederum Reduktionsformeln, durch die die Grössen des Systems P(1",2',3”) mit z Elementen zurückgeführt werden‘auf die entsprechenden Grössen von