wenn x das grösste in 5 enthaltene Ganze bedeutet. Analog bezeichnen wir mit X,},

v,... und S die grössten Ganzen von und 5 Die grösstmögliche Inver-

Fr BizG2E sionszahl, die in einer der Permutationen überhaupt vorkommen kann, nennen wir i,, die durchschnittliche, mittlere Inversionszahl_ sei im= 5. ! Für die Anzahl der Permutationen P(1*,2!) folgt sofort aus der Formel nn

P(%,2)=(7), wenn z=k+1.

Da im extremen Falle die sämtlichen k Elemente 1 hinter den l Elementen 2 stehen können, so sind in einer der P(1*,2') höchstens k-l Inversionen möglich, d. h. ind, 2)=k-l.

In jeder der P(1*,2') kann man die k Elemente 1 auf k-l verschiedene Arten den l Elementen 2 zuordnen. Liefert in einer Komplexion das«. Element 1 mit dem ß. Ele- ment 2 eine Inversion, so liefert(aß) keine Inversion in der umgekehrten, von rechts nach links gelesenen, inversen Permutation und umgekehrt. Jede der k-l Möglich- keiten veranlasst also in einer der beiden Komplexionen eine Inversion; d. h. die Inver- sionszahlen zweier inversen Permutationen ergänzen sich zu i,(1%,2))=k-l. Hierbei kann im Gegensatz zu den Permutationen ohne Wiederholung der Fall eintreten, dass eine Komplexion sich selbst invers ist, sodass ihre Inversionszahl= Sei Das System P(1%,2') setzt sich demnach aus lauter paarweise oder sich selbst inversen Komplexionen zusammen, folglich ist

in(1,2)== Zilk, 2). Daher findet man für die Summe aller in den P(1*,2') enthaltenen Inversionen i 12 kel k+1 1, 2—in(1, 2)- Pl,= 314152) Pr, DI)(3(Kr).

Unter Benutzung dieser Werte lassen sich die für 1=1,2,3,4,5 gefundenen Aus- drücke leicht verallgemeinern und folgendermassen gruppieren:

A. P&(l,2): I. k und I beide ungerade. Il. K.und I nicht gleichzeitig ungerade.. 0 B. Jelie 2)? Boy Andi heide ungerane sodass Er HR) FTSE)