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Je nachdem den folgenden Ausführungen Gleichung 5. bezw. 7. oder Gleichung 10. zu Grunde gelegt wird, ergeben sich die Resultate in zwei verschiedenen Formen, die natürlich in einander übergeführt werden können.

Da die Potenzflächen Kugeln sind, so sind die Charakteristiken ihrer Einhüllungs- fläche, welche durch die Gleichung der Potenzflächenschar und die aus ihr durch partielle Differentiation nach a sich ergebende Gleichung repräsentiert werden, Kreise, die Einhüllungsfläche also eine röhrenartige Fläche, deren Achsenlinie der Ort der NYittel- punkte der Charakteristiken ist. Letztere werden auch bestimmt durch die Gleichungen von zweien ihrer Projektionen auf die Koor- dinatenebenen. Die Gleichungen dieser Projektionen erhält man, indem man aus der Gleichung der Schar und der aus ihr auf die angegebene Art hervorgehenden Gleichung bezüglich 2z. X und y eliminiert. Bequemer gelangt man bei Benutzung von Gleichung 5. und 7. zum Ziel auf folgende Weise: Man multipliciert Gleichung 5. mit w, u und v und differentiiert die erhaltenen Gleichungen partiell nach a. Dann findet man, wenn man den Differentialquotient einer Funktion w, wie üblich, mit w' be— zeichnet:

ſ ew:+ X. w'n y. W”v= W. 11.7(X2- y= 2*) u“t+† y. u*, †= 2. u= u.,

Ia-*+ 29). v4 2.Ww X X. vA= v.

Ferner differentiiert man Gleichung 7.

partiell nach a. Dann ergiebt sich: X. tEn+ y. t'v+ 2. tw=t“ Eliminiert man endlich aus dieser Glei- chung und aus der ersten, zweiten und dritten Gleichung 11. bezüglich z. X und v,

so erhält man als Gleichungen der Pro-—

jektionsellipsen:

4 2 t“ t⸗ tv2— a v* 7 X.— V.„—. W

t'w t tw 34*

12+X wa y. we*r=w' V

1 t“ t“ t“ 12z 2 5 V W 7 8 22— V., 2. ſer

4. 18 Lu u t'n—

+ y. u’+ 2. u'w= u“,