ergiebt sich nach Hilfssatz(2): sin 30= 2 sin 15. cos 15= 0,008 7265 Cos 30˙= 0,999 9619 sin 10= 2 sin 30. cos 30= 0,0174524 cos 1⁰°= 0,999 8477 u. s. f. u. s. f.

Der hier zur numerischen Auswertung der Funktionen eingeschlagene Weg ist im allgemeinen völlig streng; nur die Proportionalität zwischen kleinen Winkeln und deren Sinussen ist aus der Erfahrung(der unmittelbaren Anschauung der Zahlenwerte) geschöpft. Obwohl hierdurch die Thatsache selbst aufser Frage gestellt ist, was für den Elementar- unterricht genügt, so dürfte es sich doch empfehlen, zur Erklärung der merkwürdigen Er- scheinungi auch noch die Beziehung zwischen Sehne und Bogen, oder besser zwischen

Pen(ihr allmähliches Zusammenfallen bei Abnahme der Winkel) durch die bekannte Betrachtung am Kreise klarzulegen.

Sinus und Arkus=

7. Tabellarische Berechnung von Wurzeln eines beliebigen Grads, ohne Anwendung von Logarithmen.

Das direkte Binomialverfahren? der Wurzelausziehung ist nach den Schulplänen dem Kursus der Obertertia zugewiesen, mit der selbstverständlichen Beschränkung auf die

1 Die Indier nahmen die Proportionalität bereits mit 3⁰0 45“ und zeichneten den Sinus dieses Winkels durch einen besondern Namen aus(Kramajiva, arab. Kardaga).

² Schon Pythagoras(570 v. Chr.) und seine Schüler behandelten die Irrationalzahlen und lieferten Beweise für die Irrationalität verschiedener Quadratwurzeln.

Archimedes(287 v. Chr.) gelangte auf dem Wege der Exhaustion(die Details seines Verfahrens sind nicht bekannt) zu dem Ergebnisse, daß

V3 zwischen 1,732026 und 1,732051 liegt(bis zur 7. Dez. genauer Wert: 1,7320508).

Heron von Alexandrien(100 v. Chr.) berechnete die Quadratwurzeln mittels der Näherungsformel

(wenn b relativ klein neben a): Va+ b= a+ 2.

und scheint durch wiederholte Anwendung dieser(auch jetzt noch gebräuchlichen) Regel sehr genaue Resultate erzielt zu haben.

Die indischen Mathematiker— unter ihnen Aryabhatta(476 n. Chr.) und Bhäâskàra(1114 n. Chr.) — bpedienten sich zur Wurzel-Extraktion der Binomialformeln(a+ b)“ und(a+† b)s, und von den Indiern gelangten diese Methoden durch Vermittelung der Araber(unter denen besonders Mohammed ben Mäsà al Hovârezmi, Anf. des S. Jahrh., zu nennen ist), in das Abendland. Es ist hier nicht der Ort, auf den unermeßlichen, erst in diesem Jahrhundert voll gewürdigten Einfluß näher einzugehen, welcher von Indien auf die heutige Gestaltung der Mathematik ausgeübt worden ist. Nicht bloß eine Reihe wissenschaftlicher Zweige der Mathematik verdanken den Brahmanen ihre erste Ausbildung; auch unser gesamtes, an das geniale Positionssystem sich anlehnende elementare Rechnen ist indischen Ursprungs. Was heute selbst der Volksschüler spielend lernt, ertorderte vor Einführung der indischen Methoden die ganze geistige Kraft eines Mannes, so daß noch im 10. Jahrhandert der Kommentator der Werke Gerberts, der nachmals als Sylvester II. den päpstlichen Stuhl bestieg, mit Recht sagen konnte:„Regulas dedit, quae a sudantibus abacistis(d. h. Rechenmeistern) vix intelliguntur“ und immer von neuem klagt„quantus sudor in mathesi expensus sit“, und doch handelte es sich dabei nur um Multiplizieren und Dividieren(in der von Gerbert schon erheblich verbesserten römischen Form).— Erst mit der Annahme des indischen Positionsprinzips beginnt für das Rechnen eine neue Epoche; es folgte eine Umwälzung, für deren Trag-