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zeigen, auf welchem diese hier in ihrer wichtigsten Bedeutung auftretenden Relationen auch schon an früherer Stelle, nämlich dem Standpunkte der Untersekunda entsprechend, gefunden werden können.

Beweis zu 1.

Aus den Sätzen von der mittleren Proportionale folgt(Fig. 4): 82= 2r(r— 9)= 21²— 2r9 11 412 2 2 1 S2 1 0 (2= 2l 9 1 1— sin(1— cos a)= 20(¹— VI— sin 2a)

Beweis zu 2.

Mit Hilfe der Fig. 5 ergiebt sich, wenn I den Drei- ecksinhalt bezeichnet: 21= ha b= hz-c= hz n+ hzm

und hieraus durch Division mit aν:

K* h., he n. ham 8 2— 13 243 111 X/arℳ=. 1+ 2 P oder Fig. 5. sin(a+‿˖ 8)= sin a cos+ cos a sin. Anmerkung. Da a+; in der Tafelberechnung stets kleiner als 90°(sogar kleiner als 45 ⁰wegen der Komplementbeziehungen), so ist die hier gemachte Voraussetzung zulässig, daß y— 90⁰.— Der gegebene

Beweis besteht zwar auch ohne diese Voraussetzung, verlangt aber, wenn= 90° die Kenntnis des Satzes sin x= sin(180— x), also eine aus dem allgemeineni Begrift des Sinus folgende Relation.

Wenden wir uns nun zur Berechnung der Sinustafel selbst: Aus sin 30⁰°= 0,500 0000 folgt durch fortgesetzte Zweiteilung des Winkels mit Zuziehung des Hilfssatzes(1):

0322 ü= sin 150= 0,2588190 5 sin 7⁰ 30“= 0,1305262 sin 3⁰ 45= 0,065 4031 sin 1⁰52 30"%= 0,032 7191 sin 0056 15"= 0,0163617 sin 0 28/7 ,5= 0,008 1811

sin 0° 14 3,75= 0,004 0906

Dafs man auf diesem Wege nicht unmittelbar zum Werte von sin 1“ geführt wird, ist einleuchtend. Eine Betrachtung der letzten Gleichungen zeigt aber, daſs für Winkel

1 Mit dem man übrigens aus verschiedenen Gründen nicht bis Obersekunda zurückhalten sollte.