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Diese Thatsache ist für das mathematische System von hoher Bedeutung. Denn wenn es schon gegen das oberste Prinzip der Mathematik verstöfst, von einem Lehrsatze Gebrauch zu machen, dessen Rechtmäſsigkeit nicht zuvor streng erwiesen ist, so erscheint dies noch weit weniger statthaft bei einem Hilfsmittel von dem Range der logarithmischen und trigonometrischen Tabellen, welches das ganze Gebiet der Elementarmathematik durch- dringt und beherrscht. Nun ist allerdings die Behandlung der Reihen— also der theo- retischen Grundlage der Tafeln— in den Oberrealschulen bedingungslos und in den Real- gymnasien wenigstens mit einigem Vorbehalt zulässig. Aber von dem unläugbaren Miſs- stande abgesehen, daſs auch in diesen Fällen zwischen der ersten Ausübung des tabel- larischen Rechnens in Untersekunda und seiner theoretischen Begründung in Prima eine Kluft von mehreren Jahren fällt, das erstere also immerhin als eine Art Hysteroproton erscheint, so ist doch dem Gymnasium mit jenem Zugeständnisse überhaupt nicht gedient, da hier die Heranziehung der Reihen grundsätzlich ausgeschlossen ist.— Bei dieser Sach- lage tritt also insbesondere an die Mathematiklehrer der Gymnasien die Notwendigkeit heran, eine Begründung der betreffenden Lehren auf anderem Wege zu suchen, gleichzeitig aber auch darauf Bedacht zu nehmen, daſs nur solche Begründungsmittel zur Anwendung gelangen, welche bereits den Schülern der Mittelstufe offen stehen, da nur in diesem Falle die Möglichkeit gegeben ist, gleich an der richtigen, d. h. von der Logik gebotenen Stelle ein sicheres Fundament für die Tafeln herzustellen.— Wenn auch die amtlichen Lehrpläne in dieser Beziehung keine bindende Bestimmung enthalten, so überhebt dies den Lehrer doch gewiſs nicht der Pflicht, für die Integrität des Systems von sich aus Sorge zu tragen.

Elementare Berechnung der dekadischen Logarithmen.

Die Erwartung, daſs wohl die meisten aus der Zeit vor Erfindung der logarith- mischen Reihen¹ stammenden Methoden für unsern Zweck(etwa mit leichten Modifika- tionen) geeignet sein mõchten, fand in dem geschichtlich vorliegenden Materiale keine Bestätigung. Das Verfahren Bürgis, das älteste? unter allen, zeichnet sich zwar

¹ Durch Nikolaus Kaufmann, gen. Mercator(Logarithmotechnia, Lond. 1668). Die Exponentialreihe (Umkehrung der log. R.) wurde von Newton, Bernoulli, am vollständigsten aber von Euler entwickelt.

²2 Joost Bürgi, Hofastronom des Landgrafen Wilhelm von Hessen-Kassel, hatte— wie historisch feststeht— seinen Kanon der„roten“ und„schwarzen“ Zahlen bereits 1610, also vier Jahre vor Neper fertig- gestellt, aber aus einem UÜbermaße von Bescheidenheit mit der Veröffentlichung gezaudert. Erst 1620 gab er ihn nach langem Drängen seiner Freunde unter dem Titel„Arithmetische und geometrische Progress-Tabulen, samt gründlichem unterricht, wie solche in allen Rechnungen zu gebrauchen und verstanden werden soll“ in Druck. So verwirkte leider Bürgi den Prioritätsanspruch an eine der folgenreichsten mathematischen Erfindungen.

Sicher geht man zu weit, wenn man die ersten Spuren des Logarithmenrechnens bereits bei Archimedes sucht. Die betreffende, immerhin denkwürdige Stelle im Arenarius, III, 6 lautet:

el na doi‿μαννꝙ mr ũ ναosς droνον εντσων ποαmQoωνᷣπi ruνes dlAlloue rcν räs aꝰrãs dyadoyias,„eμenos uoi sooeirai ᷣr äüs auräs droyias drrereν drd εν ν ueicονοοσ rνάνππο‿αάmQπQα(ιασ‿⁴ανισιωνν αοus, öοuς έατεονν τένννπα᷑mQꝑQ⁰Buotadeντινν m ναος dàναονον dnες⁊e, dr dẽ ä oνos dcpéset rl&larrövas, ¹) 6008 Sorh, 6 dowνννς οναηmπ ꝓoréOcoν, 0ds drε‿νπονπυ drπντ uOναμos oĩ oœaolανes dlAous.(si ex numeris ab unitate in