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und erhält für(10) die Bedingung: 7232=(ags— air)(àl ¹— a2*)(12) ist aber d= 0, aae= 0, so hat man die Substitution:

a4 22 911.. 1= o(13) (113 und als Bedingung: 4 6132=(aas— 1*2)(4— 11).(14)

Für die Centralgleichung α+£‿„2= r2 ist die Gleichung der Tangente und Polare für den Punkt æ, y: x ν,+† 9 9,= 1* und der Radiusvector nach g, y, ist:(15) Y, T— P, 9)= Es folgt aus(15), dass Tangente und Radius im Berührungspunkt senkrecht stehen, und dass die Polare die Verbindungslinie des Pols mit dem Centrum senkrecht schneidet in einer Ent- fernung vom Centrum: 4² i an J. un Der Umstand, dass Tangente und Radius im Berührungspunkt senkrecht sind, lässt uns leicht die Polare eines Punktes und die zugehörige Tangente construiren. Der geometrische Ort der Spitzen aller rechtwinkligen Dreiecke über derselben Basis ist aber auf der Kugel nicht ein

Kreis. Sollen die Verbindungslinen 27 3 und 2„ V, also: — a, 0+ a, 0

v9,(2+ a)= 9(æ,+ a)

(16)

",(w— 4)= v(²,— a) 41 einen rechten Winkel bilden, so ist der Punkt(x,, y,) bestimmt durch die Gleichung: 7„2 2— a2— 1(18) 1— a2 also eine Ellipse für 6 1; durch die Grade=+ a für a= 1 und eine Hyperbel für 4 1 4

und zwar liegt die grosse Axe der Ellipse in der Yaxe, die reelle Axe der Hyperbel dagegen in der Xaxe.

Transformirt man die Gleichung(18) auf das Centrum des Kreises(+ a, o), so geht sie über in:

a(æ*+† 9²)+ 2—(19) und hat mit dem auf dieselben Axen bezogenen T die Durchschnittsabscisse: — 1— 2 2 7=(20) welche in der That der Gleichung der Polaren eines Punktes(- a5:*) genügt.

2 Man construirt also über der Verbindungslinie des Pols mit dem Centrum die Curve(18); die Durchschnittspunkte derselben mit dem Kreis sind die Berührungspunkte der beiden Tangenten.