ist dls= 42s= 0, so ist der Coordinatenanfang zugleich Centrum,== 0, à= a22, r=— agg und man hat die Centralgleichung: 4 J. 92= 76 0)
Die Bedingungsgleichung für das Senkrechtstehen conjugirter Durchmesser war:
612 4*ꝗꝙ+(à1 ²— 42) 4— 1½= 9°, wobei 1, dε, ½ jezt die Constanten der Centralgleichung sind. Diese Gleichung ist aber bei dem Kreise unabhängig von« identisch erfüllt; man kann daher ebenso wie in der Ebene den Kreis definiren als diejenige Curve zweiten Grades, deren sämmtliche conjugirte Durchmesser rechtwinklig zu einander sind. Da ferner allgemein bewiesen war, dass die Cardinalpunkte der elliptischen rechtwinkligen conjugirten Durchmesser die hyperbolischen Centra der Curve sind, so ist das auch für den Kreis gültig; d. h. Jeder Punkt des Hauptkreises um das elliptische Centrum des Kreises ist ein hyper- bolisches Centrum für ihn.
Zu demselben Resultat gelangt man auf folgendem Wege: Zur Bestimmung der hyperbolischen Centra hat man die drei Bedingungen:
à αι ◻£ϑι ν+ à 3 d d+ 5 2s+ a33 . II. b=— 4 ls+ b 2½+ 423(6) à ας+£ε‿ b 23 † 433 III. d+† b+† 1= 0, welch letzte Bedingung aussagt, dass die gesuchten Centra in der Polaren des elliptischen Centrums
àν+ f9+ 1= 0 liegen müssen. Führt man in(6) die Werthe der Constanten aus(2) ein, so erhält man
a(1+ 5²2— a?² r²)— ba(1+ 1²)—(1+† 1²) =(aα †,(1 r) A g— r 5(1+ ²— 9274)— au(1+ 11)— 8(1+*¹)) —(a«+ bS)(1+† 7*)+ ²+ 2— 7 3. aMα+† bS+ 1=o. Durch Substitution von 3. in 1. und 2. gehen letztere über in: „= 2(1+ † 62)„ b(1+. u¹ ℳ. 6) — 3 1+ a*+ 62
I. 4—
1. a=—
2. 5—
Die Bedingungen also für(a, b) als Centrum sind für alle Punkte der Graden a+ 9+ 1=: erfüllt. Man kann diese Eigenschaft des Kreises benutzen zu einer Bedingung, dass die allgemeine Gleichung zweiten Grades einen Kreis vorstellt.
Die Gleichung III(6) kann man schreiben:
912 4412 1
a 5 1= o; 9
25— 69)
substituirt man diese in I und II, so erhält man als Bedingung, dass dieselben identisch erfüllt werden: d1½(du dez— 12 dg) 412(dισα³— 412 413)
—
d13(4² das— 4u3 d23) d23(ε½ ⁴— 4i 423)
oder in einfacher Form:
3 10 2I.= u3 222.— Al2 422 610) 42s d11 des— d 13 d12(4³*— 423 2)= au3 423(422— 411). Ist nun= 0, l= 0, so hat man statt(9) die Substitation: a 5b— 11 7+ 1=—(11)
23