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3 2 §. 9. Einige Haupteigenschaften, welche die Kegelschnitte α+ 5= 1

2 uud c-¹ α ††‿ er= 1 mit der ebenen Parabel gemein haben.

Die besonderen Eigenschaften der ebenen Parabel können dadurch erklärt und abgeleitet werden, dass man

1) den Scheitel einer Ellipse festhält und das Centrum in das Unendliche rücken lässt; 2) bei festem Scheitel die grosse Axe gleich Unendlich werden lässt; 3) bei festem Brennpunkt den entgegengesetzten Scheitel in das Unendliche rücken lässt.

Diese drei verschiedenen Fälle werden in der Ebene identisch, da im Unendlichen die Punkte: Centrum, zweiter Brennpunkt und zweiter Scheitel zusammenfallend gedacht werden, und da durch einen der drei Vorgänge auch die übrigen stattfinden. Daher erhält man jedesmal die- selbe Curve. Man kann dagegen voraussehen, dass diese Identität auf der Kugel nicht stattfindet und man es nach den der Kugel entsprechenden Vorgängen 1 bis 3 mit verschiedenen Kegelschnitten zu thun hat, welche sich in die Haupteigenschaften der ebenen Parabel theilen werden.

Transformirt man die Ellipsengleichung

2 92 e d) auf den Punkt(— a,) als Anfang mittelst der Formeln: 2= e ee(2) 1 Pac, 1 Tag, so erhält man die Scheitelgleichung: b2(1— a²) x,²+ a²„,?— 2 a b? x,= o.(3) Setzt man 1) ¹= 0oO, so wird die Gleichung(3) 9== b an 64)

welches die Gleichung zweier Graden ist, welche durch den Anfang gehen, parallel sind und als grösste Entfernung(2 b) die kleine Axe der Ellipse haben. Man hat es also in diesem Falle mit keinem Kegelschnitt zu thun, sondern mit einem Kugelzweieck. In Folge dessen werden die dahin gehörigen Eigenschaften der ebenen Parabel, wie der Parallelismus der Durchmesser, bei einem sphärischen Kegelschnitt nicht möglich sein.

Setzt man 2) in der Gleichung(3) tg(2)= 00, also d= 1, so geht diese über in:

92= 2 br,(5) welche Gleichung mit der Scheitelgleichung der ebenen Parabel vollständig übereinstimmt. Unter- suchen wir, welche Eigenschaften sie mit derselben gemein hat.

Der Brennpunkt hat auf diese Axen bezogen die Coordinaten:

1—

T= 1 7= 0.(6) Die Brennpunxtsapplikate ist daher: — e 2 5b2 92= 221 5 9) 1+. 4.()— G 1+e 1— ² 2 e ——— „=h 2 G 1 G)

wenn wir mit e die Brennpunktsabscisse bezeichnen, während c den früheren Werth hat. Ist also