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Bezeichnet man die Brennstrahlen eines Curvenpunktes P, 4A P mit r und B P mit v,, so ist nach§. 7(20)

r+† 1,=(2 a2), folglich CP+ DP= 180°— r,+ 1800— 1 — 360°—(2 a)

ergünzt also die elliptische grosse Axe zu 360°. Ferner C— BP= 180°— r,— †= 180°—(2 a); ist also Supplement dieser Axe. Ferner D P— 4 B= 1800— †— 1,= 180°—(2 a), dasselbe Supplement. Es sind daher A und B, C und D zusammengehörige elliptische Brennpunkte; die Summe der zugehörigen Brennstrahlen ist constant. und C, A und D sind hyperbolische Breunpunkte; die Differenz der zugehörigen Brenn- strahlen ist constant. Wechselt man in der Hyperbelgleichung(5) nämlich de J2= 1 die Vorzeichen, wo- durch die vorher reellen Durchmesser imaginär und umgekehrt die imaginären reell werden, so erhält man die Gleichung der conjugirten Hyperbel-

22 9² — 22+= 1.(24) Durch Subtraction der Gleichung(24) und(5) und Division mit 2 erhält man: 2 92².. Er= 0 die Gleichung der Asymptoten.

Die beiden conjugirten Hyperbeln haben also die Asymptoten gemein und berühren sich in den Endpunkten der kleinen elliptischen Axen. Die Hyperbel(4) hat die conjugirte:

92 72 =(25) 9 2 1.. oder mittelst der Formeln=—. 9=— 7 auf das elliptische Centrum transformirt:

7 7 2 92 r 1.(26) 17 5

Die Grössenverhältnisse der Axen dieser Curve hängen von à ab; für a= 1 wird sie ein Kreis. Die Hyperbel(2) hat die conjugirte:

92²„2 4 1 62) 5 2

oder auf ihr elliptisches Centrum, welches zugleich das Centrum der Hyperbel(4) ist, transformirt: 2 92 1= 1.(28) a 42

welche für b= 1 ein Kreis wird.

Ausserdem hat der Kegelschnitt(28) dieselben Axen wie(4) und(25), welche für b= 1 gleichseitige Hyperbeln werden, und welche also(28) in den 4 Scheiteln berühren. Ein Gleiches findet statt mit(26) durch(2) und(27), welche für a= 1 gleichseitig werden.