19 Ebenso haben sie, auf irgend welche conjugirte Halbmesser m, und n, bezogen, die Gleichung „2 92 , Man erhbält allgemein die Gleichung der Asymptoten, indem man die Summe der höchsten Potenzen der Variabelen der Curvengleichung gleich Null setzt. Die Gleichung der Tangente und Polare ist natürlich: 2,—„ Y, ꝛn2 ² Wir unterlassen hier, alle die Eigenschaften der Tangenten, Polaren und conjugirten Durch- messer, welche wir bei der Ellipse kennen gelernt haben und auch der Hyperbel eigen sein müssen,

besonders für dieselbe abzuleiten, und betrachten nur näher die Eigenschaften der neu auftretenden Linien, der Asymptoten. Die Asymptoten schneiden die in den Endpunkten eines Durchmessers gezogenen Tangenten

in den Punkten(+ m,,+—,), bezogen auf die entsprechenden conjugirten Durchmesser, wobei m, und n, die Grössen(8) sind, und es ist leicht nachzuweisen, dass die Strecken

m,, oo— m,, o n,, 0— m,, ol.

7.] e 25.e e sind,(12) während das zwischen die Asymptoten fallende Stück der Tangenten im Berührungspunkt nicht halbirt wird. Denn die Entfernungen

m,, 0 und",“⁰ m,, N, m,,— n,

= 1.(11)

sind:

n,?(1+ m,?² sin?„) 4 n,2(1+† m,? 8in?„) 13 (1+ m,?+ n,?+ 2m, n, cos„)(1+ m,²) 1(1+†m,² † n,²— 2 m, n, cos*)(1+ ,²)(13) wobei» der Winkel zwischen den conjugirten Durchmessern bedeutet. Berücksichtigt man, dass m,² † u,?+ 2 m, n, cos» die Abschnitte auf den Asymptoten sind, gleich tge und tg a,, so verhalten sich die trigonometrischen Tangenten der Tangentenstücke vom Berührungspunkt bis zum Durch- schnitt mit den Asymptoten wie cos a zu cos«,, wie die Cosinusse der entsprechenden Asymptoten- abschnitte.— Allgemein werden die Graden=+r von den Asymptoten so geschnitten, dass die Entfernungen

1, 0— 1, r, 0— r, 0

2= n, n.— n. r, nr 3, r,— 22.,—,,„ † sind.(14) † m/

u

7

Da nun dieselben Graden analog§. 7 Fig. 13 von Curve und Durchmesser auf gleiche Weise getheilt werden, so sind auch die symmetrisch liegenden Stücke zwischen Asymptoten und Curve einander gleich. —— 35= 1 durch das Centrum gehen, so muss x,= v,= 0 sein, d. h. die Asymptoten sind die Tangenten an die Hyperbel vom Centrum aus und berühren dieselbe in den Endpunkten einer elliptischen Axe, was auch daraus gefolgert werden konnte, dass die Centrumspolare eine Hauptaxe des Kegelschnitts ist. 2 2

Transformirt man die Gleichung—2= 1 auf die Asymptoten mittelst der Formeln:

Soll die Tangente

m 2 ——(A„,), 9=——y=(L2,— Jy, V m+. n⸗ G). 9 V m+ n2 G—(15) so ist die Asymptotengleichung der Hyperbel: 4 g, y,= m²+†. n2(16)

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