§. S. Die Hyperbel.

2 2 Transformirt man die Gleichung 6+ 5= 1 auf das in der Xaxe gelegene zweite

Centrum(o, 00) mittelst der Formeln(30)§. 3, worin für, diesen Fall= 90⁰° zu setzen ist, und welche nach einfacher Vertauschung der Axen die Formähaben:

Y,— 1 4—(1) so erhält man die hyperbolische Gleichung: 22 92 = öä=.(2) 5* 52

Transformirt man auf das dritte Centrum in der Xaxe(00, 0), indem jetzt α=‿ 0 ist, mittelst der Formeln:

1 9. £=———— xT,“ 9 T, 63) so erhält man die hyperbolische Gleichung: 2²„ aa 09) a a2

Zur allgemeinen Betrachtung der Hyperbel geben wir den Gleichungen(2) und(4) die gemeinsame Form:

—— 4= 1(5)

Der Halbmesser dieser Curve= g G. x hat die Grösse

V 1+ tg 20 m n

0= m n— 6 V n— m? 192 0 V n?—(mꝰ+ n?²) sin? G) Es ist daher o ein Minimum für G6= o, d. h. für 9= m, und ein Maximum für

190= † 2, also für 9= 00. Bei weiter wachsendem wird g imaginär. Es ist also bei der

Hyperbel die Halbaxe m der kleinste reelle Halbmesser. Die Gleichungen der conjugirten Durchmesser sind: 92

„ä= αx und= 2(7) die Grössen der entsprechenden Halbmesser: m n?²(1+ ²) n1+ m 2

2n e 6. Aus den Gleichungen(7) folgt, dass die hyperbolischen conjugirten Durchmesser im Gegen- satz zu den elliptischen beide spitze Winkel mit der Xaxe bilden. Für«=+— werden die

Gleichungen(7) identisch; m, und n, fallen zusammen und werden gleich 00. Es werden diese Durchmesser die Asymptoten genannt und ihre Gleichungen sind:

2 9— 2= „ 1.. 2 2.(9) oder 27— 25— o. m 3