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Der Pol, der die Curvenpunkte(xl, Nt) und(ax, 9½) verbindenden Sehne (C.)— vi) x—(xᷣᷣ—) Nü= xr Ne— l.᷑ ¶ hat die Coordinaten: „ 7—. Ti9 2— 42 91 T1 92— A2 91 Die Verbindungslinien dieser drei Punkte, Ni e, h und E,„ sind aber: I. ræ—(æl— c)— 91 O= 0 II. 2 α—(x— c)— 92& 0(46) III. y x—(— c)— y=. Die Grade III. halbirt den Winkel von I. und II., wenn: 911⁷(1+ ¹²)+(a.— c)(—°) V ſIuε(1+)+†(ær— c)*I7(1+*)+(E—)51) 92(1+°²) †(22— c)(§—) VTTv(1+† ⁷)+(r.— c)“IL72(1+)+(—)*) welche Gleichung in Rücksicht auf(17) und(19) übergeht in: 91 7(1+ ⁰*²) †(&r— e)(—°)— 9½%(1+† ⁶²)+(².— c)(4 2).

2 2 d²2— x a²2— ᷑⅞

E= ar.= 1„= 5(45)

(48) Durch einfache Umformungen wird(48):

„(1+*)[9(a4²—)— 92(a?— ᷣ)]=(E— c)[(ᷣᷣ— c)(a*— cor)—(x.— c)(a²— c)] v(1+†*)[a2(Girrt— 92)— c(91 Ne— x* 9)]=(§— ce)(æ—*1)(a*— ¹)

oder da ¹²2—(2²2= b2(1+ ²) ist: 7 1** e)— Ä91—e=(— c) bꝛ l— a.(49) Ti 2— 2 N1 Ti h2— 2 N1

welche Gleichung mit Rücksicht auf(45) identisch erfüllt ist: 7(&—)=(k— c) v.

Es folgt daraus, dass die Verbindungslinie eines Punktes mit dem Brennpunkt den Winkel halbirt, den die Polarsehne jenes Punktes am Brennpunkte spannt.

Weiter folgt daraus: Geht die Sehne durch den Brennpunkt selbst, so steht die Verbindungslinie desselben mit dem Pol jener Sehne, welcher in der Directrix liegt, senk- recht auf ihr.

Dies letztere kann leicht direct bewiesen werden.

2 Die Polare eines Punktes der Directrix(4+— 91) hat die Gleichung:

5 4 91— ¼ C ℳ 5²= 1.(50) Die Verbindungslinie desselben Punktes mit dem Brennpunkt ist: — ſ 22— (E.=e)een=⸗ n Die beiden Graden(50) und(51) stehen auf einander senkrecht, da: 91— J(a²— 4²)—; 8⸗ 522+ 9= o ist.(52)

Bewegt sich also ein rechter Winkel um den Brennpunkt als seinen Scheitel, so ist der eine Schenkel immer die Polare des Durchschnittspunktes des andern Schenkels mit der Directrix; welche Eigenschaft der sphärische Kegelschnitt genau mit den ebenen Kegelschnitten gemein hat.