12 Wie hieraus leicht ersichtlich, ist g ein Maximum für G= 0 und ein Minimum für O= 90°. Es ist also die grosse Axe(2 a) zugleich der grösste und(2 b) der kleinste Durchmesser. Die Halb- messer wachsen von b bis mit abnehmenden tg G und sind für+ ig gleich. Aus der Gleichung(1) folgt:
5—
„= a V A= A; G)
für einen der Ellipse concentrischen Kreis mit dem Halbmesser a erhält man für die gleiche Abscisse: 9= † V 42— 27;*))
und es verhalten sich also die zu derselben Abscisse gehörigen Ellipsen- und Kreis-Ordinaten wie die kleine Halbaxe zur grossen, oder Jhe: Dæ= 5: d. Bezeichnet man mit Gudermann die Senkrechte vom Curvenpunkt auf die Xaxe mit „Applikate„““, so ist:„ 2.— 2 9=,,„„=— NV1+ 2 V1+ a also besteht auch die Proportion: J9e:„r= 5: a Es ergiebt sich hieraus folgende Construction eines der Abscisse æ, zugehörigen Ellipsen-
punktes. Es sei(Fig. 12) 0, F ein Hauptschnitt durch den Cardinalpunkt V und den Punkt x also Ox, gleich dem Radius der Kugel. x, A sei eine Tangente am Kreise x, V im Punkte x,;
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x, a sei gleich der grossen Halbaxe,, h gleich der kleinen Halbaxe und x,“, gleich der zu x, ge- hörigen Applicate des concentrischen Nebenkreises; ferner æ, A, x, B, x, M die diesen Bogen ent- sprechenden Tangenten, so dass
g, 4 x, B x, M
.=A,= 5b,„=„ ist.
0 x, 4, 0 x,* O0 a, 9* 3
Man bestimme nun den Punkt N so, dass, N: α, M=&, B: æ, A ist, alsdann ist
5 2= und der Durchschnitt von ON mit dem Hauptkreise æ, F erfüllt die Bedingung(5)
und 1st der gesuchte Ellipsenpunkt.
Die Gleichung der Tangente am Curvenpunkte(,, 9,) oder die Polare eines ausserhalb der Curve gelegenen Punktes(æ,, y,) ist:
2. 2Q+£y*= 1.(6) 2 Ein zum Durchmesser= ax conjugirter Durchmesser=— 24 22 hat mit der Curve die Punkte 612&— 5 2²
½=+———,„9=—— 7 — VWau a*+ 52 2 V ad a*+ b2 0)
gemein; die Tangenten an diese Punkte sind:— = an᷑ V a2 aA*+ 2 G
also parallel dem ersten Durchmesser. Es folgt daraus der schon früher allgemein bewiesene Satz:
Die Tangenten in den Endpunkten eines Durchmessers sind dem conjugirten Durch- messer parallel.
Der zur Polaren α 4+ 9 J.= 1 parallele Durchmesser ist:
*) S.§. 10, Gleichung(5).