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Daher„decken sich die beiden Paare rechtwinklig conjugirter Durchmesser, auf die man aus(27) schliessen konnte, und jeder sphärische Kegelschnitt hat nur ein Paar rechtwinklig con- jugirter Durchmesser. Ausserdem stimmt(28) genau mit(11) überein, woraus folgt, dass die rechtwinklig conjugirten Durchmesser die beiden andern Centra als Cardinalpunkte enthalten, was man auch daraus schliessen konnte, dass für diesen Fall die in Fig. 9 mit(a, b) und(a*, b⸗) be- zeichneten Punkte sphärische Mittelpunkte ihrer Polaren sind. Zugleich ist ersichtlich, dass diese Durchmesser Hauptaxen des Kegelschnitts sind, während die Cardinale des zum Coordinatenanfang gewählten Mittelpunktes die dritte Hauptaxe ist.
Das Vorzeichen der Coefficienten in(24) hängt lediglich von ihren Zählern ab. Durch ein- fache Umformung findet man den Zähler des Coefficienten von ,2=
(àlι ⁴e— al?)(au+ 2⁰12 3+ a22 42²](29) Es ist aber mðᴵeꝛe—*⁄= o, jenachdem die allgemeine Gleichung eine Ellipse oder Hyperbel vorstellt, und es ist daher: 92 9² . 1 630)
eine Ellipse oder Hyperbel, jenachdem das obere oder untere Vorzeichen steht; für= 0 ist 92=+ n2, woraus folgt, dass bei der Ellipse sämmtliche Durchmesser reell sind, bei der Hyperbel dagegen der eine von je zwei conjugirten Durchmessern imaginär.
§. 6. Harmonische Theilung des Radiusvectors durch Polare und Curve.
Die harmonische Proportion: sin A B. sin CD= sin B C. sin 4 D*) kann man auch schreiben:. sin A B sin(AD— 4 C) sin A D sin(A C— 4B) cos A B cos 4 D cos 4 G— cos A D cos A C cos 4 B
oder g A B[tg 4 0D— tg 4 C= tg 40(9 40— i g 4 B](1¹) oder indem man die Bezeichnung*⁴ οσ— einführt: 01(Q2— Co)= 2(— 1) 2 9 =— 2 8 0... 5
Auf einen beliebigen Anfang P und rectwinklige Coordinaten bezogen ist die allgemeine
Curvengleichung: ai1 ᷣα cu²᷑˖᷑ 2 ue 9 † a22 92+ 2+‿ 2 z3 9+ ags= o.
Ein beliebiger unter einem Winkel 0 geneigter Radiusvector wird von der Curve ge- schnitten in Punkten, welche um* und 9, von P entfernt sind. Soll nun in einer Entfernung oo ein vierter harmonischer Theilungspunkt sein, so muss
9— 2 01( (1 †. 6.
or und sind aber Wurzeln der Gleichung: (aνιτ ½οε+ 2 à12 c0s O sin O+ aas sinz O) ν †+α2(àls cos O‿ ans sin O)+ a= 0
a. Daher i—y Aher is4 d a13 Cos G+ aas sin G)
sein.
*) S. Gudermann pag. 57.