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Soll nun der neue Anfangspunkt Centrum des Kegelschnitts sein, so muss: (A— C) tga— B(1— t92.)= 0

oder—(— 0)— G6 2. tg ̃=(4=0) v(4 9) 42 sein.(1¹) 2 B Der Ausdruck unter der Wurzel ist stets positiv; folglich liegen in der That in der Cardinale des einen Centrums zwei andere reelle Centra des Kegelschnitts. Die Radiivectoren nach diesen beiden Punkten bilden mit der Xaxe die durch Gleichung(11) bestimmte Winkel α und α. Ihre Differenz giebt den Winkel, den sie mit einander bilden und es ist:

1g9— iga, 2 V(4— 0)*+ 432 tg u= 1 T igatge, 1 7— 1 2—(12) 4

folglich ist= 900 und die drei Centra sind wirklich die Ecken eines Octanten. Die Seiten dieses Octanten, welche durch hervorragende Eigenschaften ausgezeichnet sind, sollen die Hauptaxen des Kegelschnitts heissen.

Die auf irgend zwei Durchmesser als Axen bezogene Gleichung des Kegelschnitts wird nun allgemein:

Gi1 σ ˖‿ 2 àuie+ 422 92+ 433= 0(13) Ein zu demselben Centrum 0 gehöriger Durchmesser habe die Gleichung:= α½.(14) Nun ist die Gleichung der Polaren eines Punktes der Cardinalen, den wir unbeachtet der Unendlichkeit seiner Coordinaten mit(a, b) bezeichnen wollen: dα+2‿¶r2àαε b 7=— 9 612 4+ 422 b 1(5) Man erhält deshalb für den Pol des Durchmessers MN(y=„xσ)(Fig. 9) die Gleichung:

4=— al A. 4r oder 5=— ahe f ell.—(16) d2 ¶+‿ d 5b 2 d22 α+ 12 Der durch(a, b) gehende Durchmesser Mi Ni hat daher die Gleichung: „=— dd12 G 2(d11—(17)

d22 α † a12 Soll derselbe die Polare eines Punktes(a,) der Cardinale sein, so besteht analog der Gleichung(16) die Bedingung:

412 b al o, e+† au 3(1s) d2 5“+† 412 4 d22 α+ a12 welche durch Auflösung nach 2 ergiebt: 5* =(19)

Der durch(a', b') gehende Durchmesser ist also= ax, nämlich M N.

Solche Durchmesser, wie M N und Mi Ni, von denen der eine immer Polare des Durch- schnittspunktes des andern mit der Cardinale ist, heissen e Durchmesser. Ihre Gleichungen sind:

I. 7— 1 12.. 1.+ 111 g(20) dd22 2 an a+ 12 112

— Um die Curvengleichung auf diese Durchmesser zu transformiren, verfahre man wie folgt: Man drehe das System bis zum Zusammenfallen der Xaxe mit dem einen Durchmesser; darauf

verlege man die Yaxe in den andern. Durch Vereinigung der Formeln(19) und(20)§. erhält man die Transformationsformeln: