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Die Gleichung der Tangente an einen Kegelschnitt erhält man auf ganz gleiche Weise wie in der Ebene, wie sie z. B. bei Salmon, analytische Geometrie der Kegelschnitte, 3. Auflage, pag. 134, entwickelt ist, indem man die beiden Durchschnittspunkte einer Graden mit der Curve zusammenfallen lässt. Die Gleichung lautet:

auu α,ρ+ aiz(x,+ 9e,)+ aa2 Y, 9 † ais(*,+ r)+ aas G,+ v)+ 433= o(5)

Hat die Polare eines sphärischen Kegelschnittes dieselbe Bedeutung wie die Polare eines ebenen— mit Berücksichtigung, dass jene ein durch die Berührungspunkte gehender Hauptkreis, also eine sphärische Grade ist— so stellt die Gleichung(5) auch die Polaré eines ausserhalb der Curve liegenden Punktes(x, Y,) dar; wir wollen derselben die folgende Gestalt geben:

(aur ν+‿ ai 9,+ a)*+†(àl² ν,+ 422 Y, † as)"+(ais x,+ a2a Ä,+ 433)= 0(6) Soll der Punkt(æ,, ,) zugleich sphärischer Mittelpunkt seiner Polaren sein, so besteht nach§. 2(10) die Bedingung: a11 ⅞, † a12 Ä, 113 a r,+ 422 v, a23 . 97, 2 9)

ais,+ a2 Ä,+ a33 a,+ 23 Y,+ 33 welche Gleichungen mit Rücksicht auf(4) aussagen, dass die Centra des Kegelschnitts zugleich sphärische Mittelpunkte ihrer Polaren sind. Die Tangenten von ihnen an den Kegelschnitt schneiden daher die Polare rechtwinklig und sind beide gleich 90°. Aus der symmetrischen Gestalt der Gleichung für die Polare folgt ausserdem, dass, wenn ein Punkt(æ,, ,) in der Polaren von(a, b) liegt, auch(a, b) in der Polaren von(x,, vy,) liegen muss. Daher liegen die Pole aller durch ein Centrum gehenden Polaren, d. h. aller Durchmesser, in der Polaren dieses Centrums und die Tangenten von einem Punkte der Centrumspolaren berühren die Curve in den Endpunkten eines

Durchmessers.—

Wie aus Fig. 8 leicht ersichtlich, ist das Dreieck 0 CNO O1CM und 0 CM 01CN, also

0N= 0 M. 0 M= O 1N und 0O N OM= O1N 01M= 1800(8)

Die Tangenten von einem Punkte der Centrumspolaren, die also ein grösster Kreis um das Centrum als sphärischer Mittelpunkt ist, ergänzen sich zu 180°. Nähert sich der Pol der Curve, so entfernt sich die Polare vom Mittelpunkt, die Summe der Tangenten wird= 180°, bis sie bei dem Zusammenfallen der Polare mit dem Pol, auf der Curve selbst, gleich Null wird. Die Polare ist also nur dann ein Durchmesser, wenn die Tangentensumme gleich 180° ist. Daraus und aus dem oben gesagten folgt aber, dass die Polare eines Centrums zugleich Durchmesser der Curve ist, dass die Centra als Durchschnittspunkte von je zwei ihrer Polaren um je 90° von einander ent- fernt sind und die Polaren, sich rechtwinklig schneidend, die Ecken und Seiten eines Octanten bilden.

Die Richtigkeit dieses Schlusses wird durch Folgendes bestätigt:

Die aus den Gleichungen(4) oder(7) resultirende Gleichung dritten Grades hat mindestens eine reelle Wurzel. Denkt man sich die allgemeine Gleichung nach diesem Punkte transformirt, so erhält man als allgemeine Centralgleichung des Kegelschnitts:

4 2+ 2 Bgy+ C9 2+ D= 0(9)

Transformirt man nun auf einen beliebigen Punkt der Cardinale, in welcher nach dem vorigen die beiden anderen Centra, falls sie reell sind, liegen müssen, mittelst der Formeln(30)§. 3

T,=

cos α— y, sin α cos+ a, sin?&

5—„, sin— æ, Gcos α

sin— æ, sin à cos α+2‿¶9, c08 2% —„, sin— x, cos&α

9vy= so erhält man die Gleichung: 4A ¹,2+ 2 B&,9,+† C1 9,2 † 2 r,((A— C) sin cosa— B(εα— sin)) sin a — 2 y,[(A— C) sin a cos a— B(coseα— sin? α)] cosa+† D1= 0(10)