3) Die Gleichung: a1 cos²+ 2 1 s O sin O+ a22 sin? O= 0(3) liefert zwei Werthe von 0, für welche die Gleichung(2) eine Wurzel 9= 0 hat; d. h. für diesen Werth O schneiden sich Radiusvector und Curve in der Cardinale. Man hat hierbei drei Fälle zu unterscheiden:

a) Die Wurzeln der Gleichung(3) sind imaginär für d— a ⁴᷑— 0; die Curve liegt in diesem Fall vollständig innerhalb der Cardinale, sie liefert das Bild einer Ellipse.(Fig. 5.)

b) Die Gleichung(3) hat zwei reelle Wurzeln für d— rm⁸⁷ 0; in diesem Falle werden Curve und Gegencurve von der Cardinale geschnitten und ergeben das Bild einer Hyperbel.(Fig. 6.)

c) Die Gleichung(3) hat zwei gleiche Wurzeln für d— dur ⁴α—= 0. Die Cardinale ist Tangente der Curve, welche unter später zu erörternden Bedingungen zahlreiche Eigenschaften mit der ebenen Parabel gemein hat.(Fig. 7.)

Man ersieht daraus, dass der sphärische Kegelschnitt je nach der Wahl des Coordinaten- anfangs als Ellipse, Hyperbel, in speciellen Fällen auch als Parabel betrachtet werden kann. Im

Folgenden soll dargethan werden, dass er in der That viele Eigenschaften der genannten Curven in sich vereinigt.

§. 5. Centra, Durchmesser, Tangenten und Polaren des Kegelschnitts.

Die Gleichung cos O+ a2s sin O= 0(1) liefert einen Werth O, für welchen die Gleichung(2) des vorigen Paragraphen zwei gleiche, aber ent- gegen gesetzte Wurzeln hat, also=— 9, wird. Für diesen Werth O wird also der Radiusvector im Coordinatenanfang halbirt. Ist nun àαᷣ ²= 0, d= 0, so wird der Radiusvector für jedes O in 0 halbirt, d. h. der Coordinatenanfang ist zugleich Centrum der Curve.

Transformirt man die allgemeine Gleichung auf einen Punkt(a, b) als Anfang mittelst der Formeln(29) in 4A, indem man rechtwinklige Coordinatensysteme annimmt, und ordnet die neue Gleichung nach fallenden Potenzen von x, und„e so erhält man als Coefficienten der ersten Potenzen

a3= V 1+ a² V 1+ a² † b2[((an a+ air b+ a13)— a(ais à+ as b+ a3s))(2) 43= VI a*— ab(au a àπ εᷣ † α) †(1+† a²)(2 à+‿ νε ν+ 4,)— b(Mi ε‿‿ααν+ a)]

Soll nun(d, b) zugleich Centrum der Curve sein, so muss di“= 4%= 0, oder führt man in(2) die Abkürzungen:

dii d+ di b+ arz= ³, as à+ 23 b+f 433=, dl d+ e b+ des= ein, so muss

au= V 1+ al 1+ a. b ſa— aß= o a230= VI T as— aba+(1+ a²)„— b5)= 6(3) oder: 6—= 0,(1+ a²)— dbe«— b= 0 sein. Aus diesen Gleichungen folgt aber: L. 4 4=—, 5—=— 65 8

oder für α,, y ihre Werthe eingesetzt: 111 à. r+ ai2 b † 13 5= 612 1ꝗb+ 422 b † a3(9) d1 à+ 423 b+ 43 a13 à † a2s b+ 43

Eliminirt man aus diesen Gleichungen eine der Unbekannten à oder b, so erhält man für die andere eine cubische Gleichung, woraus folgt, dass der sphärische Kegelschnitt drei Mittelpunkte besitzt. Durch Bestimmung der Wurzeln dieser cubischen Gleichung über die Realität der drei

Mittelpunkte zu entscheiden, würde sehr umständlich sein; es soll dies auf andere Weise ver- sucht werden.