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Das neue System ist ebenfalls ein rechtwinkliges. Die neue Vaxe schneidet die ursprüngliche in einer Bogenentfernung von 90°von 0 aus gerechnet und die Xaxen schneiden sich in einer Entfernung 90°X arctg a*)

4) Transformation nach einem Punkt der Cardinale.

Zu einer Transformation nach einem Anfangspunkte, der um 90° von dem ursprünglichen entfernt ist, genügt die Formel(29) nicht, da in diesem Falle= b= GO wird. Es wird hierfür die von Gudermann§. 19 aufgestellte Transformationsformel benutzt: sin e sin+(sin n cos m' cos e+ cos n sin m“] x,

+(sin n cos n¹ cos e— cos n sin n¹] 9,

a Sin*= 3,. Gcos e— æ, sin e cos m“— y, sin e cos n sin e sin m †.(sin m cos n' cos e+ cos m sin n¹*] 9, y sin+(sin m cos m' cos e— cos m sin m] a, 7—

Gcos e— y, sin e cos n“— xα sin e cos m worin e die sphärische Entfernung der Anfangspunkte, m und die Winkel der Verbindungslinie der Anfangspunkte mit den alten Axen, m“ und n“ die gleichbedeutenden Winkel mit den neuen Axen sind.

Es soll nun m= m,= a, n= n'= 90 0— α,»= 90 sein, alsdann erhält man unter Berücksichtigung, dass sin e= 1, cs e= 0 ist, die einfachen Transformationsformeln auf den Durch- schnittspunkt der Graden= Ig α.. x und der Cardinale als Anfangspunkt bezogen

2 Gc08 α— y, sin σlςαᷣνα+ g, sin2& sin α— æ, sin& ασςᷣ.α— 9, 08 2(30) — y, sin— e, cos α 9— p, sin—- æ, cos a

Die Haupteigenschaften des sphärischen Kegelschnittes, hergeleitet aus der allgemeinen Gleichung zweiten Grades.

§. 4. Die Natur des Kegelschnitts ist abhängig von den Werthverhält- nissen der Constanten der allgemeinen Gleichung zweiten Grades.

Die allgemeine Gleichung lautet:

al1 τα+‿ 2a2+ a2 9+ 2 3&+ 2 a3 9+ a33= 0(1¹)

oder als Polargleichung: (au αοςε+ 2 à c sin O+ a22 sin2 O) 0*+ 2(ai cos O+ aas sin O) o+ as= 0(2) worin 9 den Radiusvector darstellt.—

Aus dieser Gleichung, als einer Gleichung zweiten Grades, folgt:

1) Der Radiusvector und überhaupt, da der Coordinatenanfang beliebig angenommen ist, eine Grade schneidet die Curve in höchstens zwei Punkten; wobei natürlich die Gegenpunkte derselben nicht beachtet werden, da sie ausserhalb des von der Cardinale begrenzten Coordinatenfeldes liegen.

2) Für aa= 0 ist ein Werth von„ gleich Null, d. h. der Coordinatenanfang liegt auf der Curve selbst. 3

*) Carl Dietrich hat in seiner„Analytischen Geometrie auf der Kugel“ ähnliche Formeln aufgestellt. Es kam mir jedoch diese Abhandlung erst nach Vollendung der vorliegenden Arbeit in die Hände und ist sie ohne den geringsten Einfluss auf dieselbe geblieben.