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Die Graden ae+‿˖ b9+o= o und alæ+ b'9+=o bilden einen Winkel v, dessen Cosinus ist:
4. a⁴*+ b b †+ec“
c08 v=—„„ 90.(12) V[(a*+ 5b2+ c²)(a*2+ 52+ ²)) Daher hat man als Bedingung des Senkrechtstehens der beiden Graden: aα+ bb’ cco= o.(13) Eine Grade, welche durch die Punkte(t, u) und(t“, u?) geht, hat die Gleichung: (u“— u)—(t“— t) g= ult— ul“(14)
Eine Grade, welche durch den Punkt(m, n) geht und auf aæ+ by+e= senkrecht steht, hat die Gleichung: b— nc 0 4 —(æ— m),»= 90.(15) Die Coordinaten des Fusspunktes sind:
(am+ bn+ c)(à— me)(am+ bn+ e)(b— no)
———„— 3. a²+ b2—(ma+ nb) c 11 e a²+ 52—(ma †+. nb)(16) und die Grösse der Senkrechten ist: am bn+ „=(17
V I1+m+ n?²)(a²+ 52 2)—(am+ bn+ c) ²]
§. 3. Transformation der Coordinaten.
Die Coordinatentransformation auf der Kugel bietet im Gegensatz zu der Ebene ganz be- deutende Schwierigkeiten, sobald die Lage des Anfangspunktes sich ändert. In diesem Falle bekommen nämlich Cardinale und Cardinalpunkte eine andere Lage und die Hauptkreise durch die Cardinalpunkte und den Punkt M werden selbst bei paralleler Verschiebung andere, wührend sie in der Ebene wegen der unendlichen Entfernung der Cardinalpunkte mit denen des parallelen Systems zusammenfallen. Es werden deshalb nur diejenigen Transformationsformeln angeführt, von welchen in der folgenden Abhandlung Gebrauch gemacht wird.
1) Drehung der Axen mit Beibehaltung des Anfangspunktes. Rechtwinklige Systeme. Wird das Coordinatensystem gedreht, so dass die neuen Axen O Vi und O0 XI mit den
ursprünglichen den Winkel G bilden, so bestehen nach(4) die Gleichungen: 9„ z= 2 Cc08 G= 2 cos α
9,= 2 cos(+ 0) x,= 2 cos(α— 0)(18) und indem man die oberen Gleichungen in die unteren substituirt: „,= 9 cos O— sin O æ,= c08 O+„ sin G und durch Umkehrung:(19) „= a, sin O+† y, cos O,=&, cos O— y, sin O
2) Uebergang zu schiefwinkligen Axen.
Um von einem rechtwinkligen System zu einem schiefwinkligen überzugehen, das Anfang und Xaxe mit dem vorigen gemein hat, und dessen Yaxe mit der vorigen den Winkel O bildet, findet man folgende Gleichungen:
Wie leicht aus Fig. 3 zu sehen, ist: 9, cos O= 9, ferner sei der Hülfskreis O P senkrecht zu O Vi; dann ist: æ, cos O=„(20) und nach(19) p= cos O+† hsin O. Daher erhält man durch Umkehrung die Formeln: 3 = æ,— 9, sin O,„= 9, cos O(209)
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