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lässt, im Punkte x= a noch nicht die Grenze ihrer Konvergenz erreicht. Man schreibe zu diesem Zwecke zunächst die erste Doppelsumme von(12) in der Form:

gœ 1 ny ny ny. T 4—— ny 4) 2I( 2e,)vſe 1e): 25 GX 2)-eren,)

90 1 7 np ny a* + 11 m)s1( † 9)-(a) 2121

. m *.4 1(run)⸗——

22 2(1+ ny) 2241 x! x!

Die erste Summe von(13) vergrössert man, indem man für w(e,) den grössten, y

sicher endlichen, Wert M einsetzt, den w für die in Frage kommenden Argumente annimmt.

Ferner transformiere man T durch die Substitution

— 2=1. tz 9 4 171= co 2 Dann wird 1+ 2 71 2) 2)(1+ 0)“

„

T(2)=— ()=((2)²) 2 1— 2²

—( ny ⸗(1+ny)(1+ 2np)(1+)*

1+ n⸗[(1+ 2ny) †‿1 ½ Es entsprechen sich dann die Intervalle

7= 1.... 1, 2= O.... 0. ..: D) 1+n 3 Offenbar ist für jedes endliche x T( 1*, d2)(1+ 1) 2, also der Betrag der 4 1.:: ersten Summe von(13) kleiner als M 2— 4 yn. eine Reihe deren Konvergenz bekannt ist. In der zweiten Reihe von(13) ist bekanntlich— wieder, solange ² nicht= 1 ist 4 ny 4... 2 m 4(r—„) auch für wachsendes n endlich. Desgleichen bleibt w(rur 4 5) für alle n endlich. Ist also M das grösste der Produkte w(aß- T(., 80 1+ n) 1 † ny

4... ⸗ 1.... ist die zweite Reihe dem Betrage vach kleiner als M 221 m) eine Reihe, die sicher

konvergiert.

Ebenso wird die Konvergenz der nächsten Reihe von(13) bewiesen.

Was die letzte Reihe von(13) anlangt, so sei ad der Punkt, bis zu dem die Reihe konvergiert, die im Intervalle—a= X=a die Funktion w(x) darstellt. Dann ist also= 1. 1, a“* wGGX) 93

ul(1— Gx)“ ² seine Ableitungen nehmen ihre grössten Werte an, wenn in ihnen à‿. 1 wird. Nun wird für*= 0, 1, 2...

Man kann dann eine positive Zahl N finden, so dass ist. TGz) und