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Die Schleife bewegt sich also zwischen ihrer Hauptaxe und zwei einander berühren- den Kreisen, welche die halbe Hauptaxe zum Durchmesser haben, als Grenzen.

Tritt der besondere Fall ein, dass m= n wird, so erhält man eine rechtwinkelige Schleife, deren Gleichung sich in dieser Form darstellen lässt:(2ν+& p*)“= m.(ν— p). Die Schleife ist also in diesem Falle die bekannte Lemniscate geworden.

Nimmt man auf der Hauptaxe einer Lemniscate zu beiden Seiten des Mittelpunktes

. 1. zwei Punkte f, und f, an, welche um—= von demselben abstehen und zieht man nach V2 irgend einem Punkteng der Leminiscate(Tig. 3) die Geraden fug und fag, so ist be- 8 1. 5 ,. 3 35. kanntlich fug. feg= 2 m. Dieses— ist aber gleich— und da für die V 2 A V 2 rechtwinkelige Hyperbel die Excentricität«= aAν ν 2u α 2 wird, so folgt hier- aus, dass die Punkte f, und f., der Lemniscate die Polpunkte der Brennpunkte der rechtwinkeligen Hyperbel sind; man nennt sie auch die Brennpunkte der Lemniscate. Oben haben wir aber gesehen, dass für alle Schleifen biw, Welches zu den vier„-Scheitel

2 M— gehört,=—,. Daraus folgt nun, dass ein Kreis, den man mit dem Abstande eines

V 2 Lemniscatenbrennpunktes von dem Coordinatenanfange von diesem aus beschreibt, die Curve in ihren vier Scheiteln s,, S, s, und s, schneidet. Zugleich ergiebt sich, dass die Geraden, welche von einem-Scheitel aus nach den beiden Brennpunkten gezogen werden, einen rechten Winkel mit einander bilden.

Oben haben wir sin e für alle Schleiſen= 2 gefunden; dieser Werth geht für

V2(mn*+ n²) die Lemniscate in 2 über; mithin ist der Winkel, welchen der Radiusvector eines Höhe-

punktes mit der æ-Axe bildet, also S,of.= 30° und o8 f†,= 8. fro= 750, also †. f.= 150 sein. Verbindet man also einen höchsten und tiefsten Punkt einer Lemniscate, welche auf einerlei Seite der æ-Axe liegen, mit dem Mittelpunkte der Lemniscate, so bilden diese hier einen Winkel von 60° mit einander, während ihre Verbindungslinie mit dem entge- gengesetzten Brennpunkte einen halb so grossen Winkel einschliessen.

Beschreibt man mit dem Abstande des Brennpunktes einer Lemniscate von ihrem Mittelpunkte von diesem aus einen Kreis, So ist jeder der Kreisbögen, welche die Lemniscate

abschneidet und in sich birgt gleich ein 6 des Kreisumfangs, während ein jeder von