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5 des Kreisumfanges beträgt, was man unmittel-

den ausserhalb derselben liegenden bar aus dem Vorhergehenden ersieht.

Dies veranlasst uns, auch für die spitz- und stumpfwinkelige Schleife die Polpunkte der Brennpunkte der zugehörigen Hyperbel aufzusuchen. Da der Abstand der Hyperbel-

brennpunkte vom Mittelpunkte= V* 5u ist, so ist der Abstand ihrer Polpunkte

von demselben—- 1 Vergleicht man diesen Werth mit=

V*+* V m+† n m

4 so erhaält man: Der Abstand der Polpunkte der Brennpunkte der Hyperbel vom 2 Mittelpunkte der Curve ist kleiner, gleich oder grösser als der Radiusvector der grössten

Ordinaten, jenachdem Sm, jenachdem die Schleife also eine stumpfwinkelige, recht-

winkelige oder spitzwinkelige ist. Im ersten Falle liegt daher der Polpunkt eines Hy- perbelbrennpunktes innerhalb des mit dem Radius pa beschriebenen Kreises, im zweiten Falle auf dem Umfange, im dritten Falle ausserhalb desselben. Hieraus folgt zugleich, dass der Winkel, welcher von den von einem Scheitel der„ nach den beiden Brenn- punkten der Curve gezogenen Geraden gebildet wird, für spitzwinkelige, rechtwinkelige, stumpfwinkelige Schleifen, bezüglich stumpf, recht oder spitzig ist.

Ferner findet man leicht, dass der Abstand eines solchen Polpunktes vom Coordi- natenanfange n. sin 1 x ist, und dass also das Quadrat über einer solchen Strecke gleich

dem Quadrate über der Nebenaxe ist, multiplicirt mit dem Quadrate des sinus des Winkels, welchen eine Berührende in dem Doppelpunkte mit der æ-Axe bildet. Für die recht-

1 3 1= winkelige Schleife ist sin 2 1* Sin 45⁰°— 5 V 2;(sin 45)— 22 also ν᷑—

2 —: d. h. das Quadrat über dem Abstande eines Brennpunktes einer Lemniscate von

dem Coordinatenanfange ist gleich dem halben Quadrate ihrer Axe.

Die Gleichung der Berührenden an einen Punkt xr," der Curve würde, daan= 1

.. ar lm*— 2(æn. pr*)] — u ist, die Form—=— o.[2(wx † 92) † A] 9 i[2(œ+ g) † n

9[2(i+ Li) 4 n.

woraus die Gleichung der Normalen sich als—=— eb(un 1+ 1

æi me— 2(x+£ L1)](x—) haben,