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Curve in zwei gleichweit von der z-Axe abstehenden uud auf verschiedenen Seiten der- selben liegenden Punkten geschnitten, wenn ihr Abstand von dem Mittelpunkte kleiner ist als m; ist derselbe gleich m, so berührt die Gerade die Curve in einem Scheitel der x, ist er grösser, so giebt es gar keinen Durchschnitt. Da nach dem Vorhergehenden die Abscissenaxe jede Sehne, welche der„-Axe parallel läuft, halbiert, so können wir diese eine Axe der Curve nennen; ebenso bildet auch die Ordinatenaxe eine Axe der Curve. Das Stück der ersteren, welches von der Curve begrenzt wird, also ganz innerhalb der- selben liegt und gleich 2 ist, wollen wir desshalb die Hauptaxe und das Stück der „-Axe, welches gleich 2 ist und im Coordinatenanfang halbiert wird, wollen wir die Nebenaxe nennen, weil sie ganz ausserhalb der Curve liegt. Warum wir gerade 2 und nicht ein beliebiges anderes Stück der Ordinatenaxe zur Nebenaxe gewählt haben, liegt in der grossen Bedeutung von n für die Gestalt der Curve.

Denkt man sich nämlich 2 m unveränderlich, 2 aber wachsend, so ändert sich

7.... offenbar 5 und also auch, da„ die Tangente des Winkels ist, welchen die Berüh- renden an die Curve in dem Doppelpunkte mit der-Axe machen, die Lage dieser Berührenden; mithin ist zu gleicher Zeit die Curve einer Aenderung unterworfen, denn ihre beiden Zweige schneiden einander im Mittelpunkte der Curve, ja unter demselben Win- kel, welchen jene beiden Berührenden miteinander bilden. Dieser Winkel sei x, dann ist

3 1 4 1 11—(wenn ⁊ seine obige Bedeutung behält) und tang 2.175 7. Ist nun/ m,

1 1. 1 so ist tang 21 1, also x= 90°; ist mü=Yn, so ist tang 2 1= 1, also x= 90⁰,

3 4 1. 3. ist endlich„= m, so ist tang 2* 1, also= 90⁰. Die Zweige der Curve schneiden

also einander im Doppelpunkte der Curve bezüglich unter einem spitzen, unter einem rechten oder unter einem stumpfen Winkel. Wir haben daher spitzwinkelige, recht- winkelige und stumpfwinkelige Schleifen von einander zu unterscheiden.(Fig. 2, 3 u. 4.)

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7 7.„.. 4.. Da m=— und/= 77 ist, So ergiebt sich hieraus, dass die Zugeordnete einer 2 1

spitzwinkeligen, rechtwinkeligen, stumpfwinkeligen Hyperbel bezüglich eine spitzwinkelige, rechtwinkelige oder stumpfwinkelige Schleife von demselben Winkel x ist, was sich auch schon daraus ergiebt, dass die Asymptoten der Hyberbel zugleich die Berührenden der Schleife im Mittelpunkte derselben sind. Während man aber eine spitzwinkelige, recht- winkelige oder stumpfwinkelige Hyperbel erhält, jenachdem die Hauptaxe grösser, ebenso gross oder kleiner als ihre Nebenaxe ist, findet bei der Schleife das Umge- kehrte statt.