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weiter zu, so bleibt ę imaginar bis zu dem stumpfen Winkel, dessen sinus e ist,

Va*+ b bis zu dem Winkel also, welchen die andere Asymptote der Hyperbel oder die Berührende in dem Doppelpunkte ihrer zugeordneten Curve mit der x-Axe bildet. In diesem Falle ist o= 0 und wächst nun, wenn% bis zu 180° zunimmt, von 9= 0 bis 6o= m. Da die Curve symetrisch gegen die æ-Axe liegt, so erfolgt bei weiterem Wachsen von„ in umgekehrter Weise ganz dasselbe, wie vorher. Da es nur reelle e giebt, für die Winkel, welche grösser als Null und kleiner als ⁊, welche grösser sind als 1800— 2 und kleiner als 1800+ z, und endlich für solche Winkel, welche grösser als 3600— ¶ und kleiner sind als 360°,(wenn z den spitzen Winkel bezeichnet, den eine Hyperbelasymptote mit der-Axe bildet), so folgt daraus, dass die ganze Schleife in die zwei Scheitelwinkel fällt, welche von den Berührenden an dieselbe in dem Doppelpunkte gebildet, und die von der æ-Axe halbiert werden.

Um das und e zu finden, die zu den höchsten Punkten über und unter der

2. m(m* 29*) Id*. x-Axe gehören, weiss man, dass=+ 9=— ist; di 3ioren) 3 6 9 4(0+ m²) 4(m+ n*) 1dle . 2../. 71. giebt 6=—=. Ebenso erhält man, wegen sin=—, sin=—. Beide Werthe 2 0 V2(m*+† n*)

kann man benutzen, um auf leichte Weise die„-Scheitel der Curve, wie die zugehörigen æ und„ zu construieren.

Wäre zum Beispiel(Fig. 16.) die Schleife gegeben, oa= ob= m und man sollte die am weitesten von der æ-Axe abstehenden Punkte der Curve suchen, so braucht man nur zu

:.. 1.. bedenken, dass der zugehörige Radiusvector=— ist. Da V2= 34n 450 ist, so hat V 2 3 man=„„15s Halbiert man daher m in c, errichtet in diesem Punkte eine Senk- 8 ed 7 rechte auf oa und macht cd= oc, so ist doc= 450°, und daher 3— 5 1 da aber sin 450 auch gleich ist, so muss o= od sein. Man hat also, will man die vier Scheitel der finden, nur oa= ob= m in c 2u halbieren, in diesem

1. Punkte ein Loth auf ab zu errichten, dasselbe gleich u m machen und alsdann mit