4 d2„ d 9„dy„ 2— Ae e e ee deren Coéfficienten, durch Differentiation der ersten Differentialgleichung erhalten werden, einzusetzen. Man erhält:

aA A 4— v VUE 5 2 E 2 D, oder 52„—,

dM.æ.

also zwei verschiedene Werthe. Bezeichnen wir den Winkel, dessen Tangente+— ist, G

5„ 1 mit z, so ist der Winkel, dessen Tangente— ist, gleich 1800— v. Die Zugeord-

neten der Hyperbel haben daher alle in ihrem Coordinatenanfange zwei Berührenden, von denen die eine mit der Abscissenaxe den Winkel z, die andere den Winkel 1800— zm macht. Der Coordinatenanfang muss desshalb immer ein Doppelpunkt der Curve sein.

Die Tangenten der Winkel, welche die Asymptoten der Hyberbel mit ihrer Haupt-

axe bilden, haben aber auch die Werthe Be da sich nun die Axen der Hyperbel

stets mit dem Coordinatensysteme in paralleler Stellung befinden, so folgt, dass die Be- rührenden an die zugeordnete Curve in ihrem Doppelpunkte stets den Asymptoten der zugehörigen Hyperbel parallel laufen. Die beiden Zweige der Zugeordneten der Hyperbel schneiden also einander im Doppelpunkte der Curve unter demselben Winkel, unter welchem die Asymptoten der Hyperbel einander schneiden.

a) Die geschlossene Schleife.

Ich gehe nun zu den einzelnen Curven über und beginne mit derjenigen, welche

durch die Gleichung: 2 2)2 7* 2 24 2 (2*= ,)—.e 9— ,0

ausgedrückt wird, an welcher ich, um das von mir bei der Untersuchung der zugeord- neten Curven der Kegelschnitte eingeschlagene Verfahren an einem Beispiele ausführlich zu zeigen, die Untersuchung hier führen will.

Diese Curve entsteht, wie wir oben gesehen haben, wenn der Kreismittelpunkt in den Mittelpunkt der Hyperbel fällt. Derselbe ist daher ein Doppelpunkt der zugeord- neten Curve, und die Berührenden in ihm an dieselbe fallen mit den Asymptoten der

Hyperbel zusammen. Setzt man—= m und= n, so erhält die Gleichung fol- 6

gende Form: 8 ar T. 2 an p h m e n, 0,