„4

p

41 4)(xν+£‿„*):—2+‿ 9= 0, wenn der Mittelpunkt der Hyperbel in dem Kreis-

mittelpunkte liegt.

Ueber die Zugeordneten der Hyperbel kann man aus ihrer Entstehungsweise Vieles in Betreff ihrer Eigenschaften sagen, noch ehe man die Gleichung untersucht hat.

Da die Hyperbel sowohl symetrisch gegen ihre Haupt-, wie Nebenaxe liegt, so muss Folgendes stattfinden:

Die zugeordnete Curve liegt symetrisch gegen beide Axen, gegen eine, oder gegen keine, je nachdem die beiden Axen der Hyperbel, eine, oder keine mit den Axen des Coordinatensystems zusammenfallen.

Die zugeordneten Curven der Hyperbel müssen im Allgemeinen geschlossene Curven sein und können nur dann einen unendlichen Punkt, aber auch nur einen einzigen, haben, wenn der Kreismittelpunkt irgendwo auf dem Umfange der Hyperbel liegt.

Da die Hyperbel zwei unendliche Punkte besitzt, und die Pole aller unendlich ent- fernten Punkte im Kreismittelpunkte liegen, so folgt, dass der Coordinatenanfang stets ein Doppelpunkt der Zugeordneten der Hyperbel sein muss, was sich auch leicht zeigen lässt

Durch Differentiation der allgemeinen Gleichung dieser Curve, welche, wie oben gezeigt wurde

4(a ◻‿ 9)— Bæ(a*+ g)+ Cg(+‿ 9)+ Da— FEg= 0 lautet, erhält man:

(4 A 4 A+ Ca— 2 Br„ 3 C„— 2 FE9) 27 4 A&+ 4 A 9= 3 Ba †

d 2 GCa⁵—= B„ 2 2.= 0. d*—(4 A 4 A r— 3 Br 2 Cr9— Bp„+ 2 D*) 0 Setzt man———,————, da 4 A£ 4 A 9o+ Ca— 2 Bag 3 C9— 2 E 0

so findet man, dass diese Gleichung durch= 0,= O0 befriedigt wird; da diese Werthe zugleich auch die einzigen sind, die der allgemeinen Gleichung Ge- nüge leisten, so muss der Punkt= 0,= 0, als Curvenpunkt ein ausgezeich- neter sein.

Ob er nun ein vielfacher Punkt, ein Rückkehrpunkt oder ein conjugierter Punkt ist, müssen die Berührenden, welche man in diesem Punkte an die Curve ziehen kann, ausweisen. Wir brauchen aber bloss die Tangenten der Winkel zu bestimmen, welche

d„) 1„

die Berührenden mit der xæ-Axe bilden, also. Um den wahren Werth von 8— a. da.

3 für ½= ä= 0 zu erhalten, braucht man nur diese Werthe in der Gleichung