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wenn ich das Coordinatensystem— es sei ein rechtwinkeliges— durch den Kreismittel- punkt lege und die Coordinaten des Mittelpunkts oder Scheitels des Kegelschnitts, sie seien« und 6, angebe, indem ich zugleich die Bestimmung hinzufüge, dass die grosse Axe(bezüglich die Hauptaxe) desselben der Abscissenaxe parallel laufen soll.

Um die Gleichungen der zu suchenden Curven aufzustellen, muss man die Coordi- naten x, y eines Kegelschnittspunktes a durch die Coordinaten æe, des zugeordneten Polpunktes b ausdrücken. Auf diese Weise erhält man zwei Gleichungen:= ꝙ(r, 9u) und)yö=(wr W); ausserdem hat man, da a ein Punkt des Kegelschnitts sein soll, die Gleichung F(x,)= 0, wenn F(x,)= 0 die Gleichung des Kegelschnitts ist. Diese drei Gleichungen reichen hin, um die Coordinaten æ, y der Kegelschnittspunkte daraus zu eliminieren; es bleibt alsdann nur noch eine Relation zwischen den Coordi- naten der Pole der Kegelschnittspunkte, also die Gleichung der gesuchten Curve übrig.

Die beiden Gleichungen= 9(aν ⁴) und„)=„(wr,„n) sind leicht zu ent- wickeln. Es sei(Fig. 1.) b der Pol von a, also wenn o der Mittelpunkt des Kreises von dem Radius r ist, so hat man: oa:r= r: ob. Man fälle die Lothe ac und bd auf die æ Axe, so ist oc=—; ca„; ad— a; db= Au; Alsdann ist:

ob: oa= od: oc= bd: ac oder ob: ba= r: xæ= m: und da nun ob. oa= ist, so ist: ndeT eIu; daher lassen sich die genannten Proportionen auf folgende Obh oObz aer 91 Form bringen:

(æ. gr): †= ar:æ= gr: 9, woraus man sofort= und„— 1., d. ær ‿ Hr. ar † HKᷓ erhält. Man hat also jetzt nur noch diese Werthe von α und; in die Gleichungen der Kegelschnitte einzusetzen, um die entsprechenden zugeordneten Curven zu erhalten.

I. Die zugeordneten Curven der Hyperbel.

Ich beginne mit der Hyperbel. Giebt man dieser, deren Mittelpunktsgleichung

3—*½= 1 ist, eine solche Lage gegen den Kreis vom Radius y, durch dessen Mittel- punkt ein rechtwinkeliges Coordinatensystem gelegt ist, dass der Mittelpunkt der Hyper- bel die Coordinaten—æ,— 6 besitzt, dass ihre Haupt- und Nebenaxe bezüglich der g- und„ä-Axe des Coordinatensystems parallel laufen, so erhält jene Mittelpunktsgleichung die Gestalt-

(— a)(9=) “

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= 1. Verbindet man sie mit den beiden Gleichungen= 2r