15 Da in der Ebene abgebildet wird, so können wir X= T, Y= U und Z= o setzen und es ist dS8== 2= dX?2+ dY.. Integrirt man die Differentialgleichung Q= o, so erhält man X+ i= Const. und X— iY= Const. Daher muss vermöge Gleichung 7) sein

10) X ir= rtu ctg 1 u 1 und A r=tſt- 1(ets2 1 2) Da ds²= Q= dX+ d?, so folgt für N in Gleichung 5 der Wert 1. Noch übersichtlicher ist folgende Darstellung: dS== A= dXIB?+ dY²=(dX+ id 1)(dx— id)= d+ ir) d— i*)

du*) sin 2u

00 t du au 1 du 1 du Tann Lt-i3un)(444 Tiaua)= aſt- sin u 4 teli eim

00 wWsinzu aſt ii(cte*)ae= it(ctzzn

Setzt man diese Werte in Gleichung 6, so erhält man d(X 3 i) d&— i*)

d u« etg2 2) d Y 1i(ets 2u)= mm r sin“ u. 8 2

Und daraus ergeben sich zwieder die Gleichungen 10.

Indem man nun für f in Gleichung 10 verschiedene Funktionen wählt, erhält man ver- schiedene Abbildungen.

Wählt man die einfachste f(v)= K. v, so erhält man Mercator's Projektion, mit der wir uns hier nicht beschäftigen.

Wählt man f(v)= f(p+ di)= keir, wo k eine beliebige Constante ist, so erhält man die stereographische Projektion. Vermõge Gleichung 10 ist

5.V: 1; 4 U X+ i= Keilt+ il(ct& ½ u)]— Keit. e— l(ctg ½ u)= Keit. tg2

ds2== f sin 2u(ats+

XI1r= ktg a(cos t+ i sin t).

Daraus folgt:

1 u: = k to 2 u cos t=Trtgo cost, wenn k=r genommen wird 11 1

IſrLie 2u sint=rtg)usmt.

—

Dasselbe Resultat ergieht sich auch aus der Gleichung 1 1= r—il(etg ²)

Das Vergrösserungsverhältnis m ergiebt sich aus der Gleichung 8), wenn man

f(p+ qi)= keilt H il(ets 1 u)) fi(P— qi)= ke-ilt- il(ts ¹²u)) unden= r* sinz u und N= 1 Setzt.