2 r cos 2 1 u 2 cos? 2 u

Vermöge der Gleichungen 11 können die Koordinaten X, Y der Projektion irgend eines Punktes(t, u) der Kugeloberfläche berechnet und mithin auch konstruiert werden.

Ist t constant, so erhält man aus den Gleichungen 11 durch Division die Gleichungen einer Geraden. Alle Kreise auf der Kugel, deren Ebenen senkrecht zum Grundkreis sind und die durch den Kugelmittelpunkt gehen, bilden sich mithin auf dem Grundkreis als gerade Linien ab.

Ist u constant, so erhält man durch Quadrieren und Addieren der Gleichungen 11 die Gleichung eines Kreises. Auch bemerkt man, dass die, allen verschiedenen Werten von u angehörigen Kreise, concentrisch sind(s. Fig. 19).

Wenn wir noch zeigen, dass die Gleichungen 11 und 12 aus der im Anfang vorgetragenen Projektionsmethode sich ableiten lassen, so ist bewiesen, dass die Gleichungen 11 und 12 die stereographische(Polar-) Projektion vorstellen. In Fig. 19 ist B C die Projektion von E D. ISt der Punkt D dem Punkte E unendlich nahe, so ist DE= rdu und BC= d(0B).

. u

Nun ist OB= Trtg 2

46oH)=hoe=. 2 cos? 5ᷣ u 2 cos* u er B0 1 Mithin me=Pß-—=

1 2(09 ² 2 cos? 5 u

—

. 3 1 Für u= o istm=

2 0B in Fig. 19 liegt im allgemeinen zwischen der X- und Y-Achse. Mit der X-Achse bildet OB den Winkel t. Projiciert man OB auf die beiden Achsen, so sind die Projektionen rtg u cost und rtgausint. Der erste Wert ist X der zweite Y in Gleichung 11. Mit Hilfe der Gleichung 11 kann man die Projektion der Polfigur aller Krystallgestalten berechnen und zeichnen. Will man z. B. die des Oktaëders zeichnen, so beschreibe man aus

dem Schnittpunkt zweier Axen mit beliebigem Radiuser einen Kreis und trage auf den Axen die Entfernungen

für u= 90 ist m= 1.

X=— rtgn 60s 45= r 0,366= I und bz= u= 54 44˙8“(s. Fig. 7, Seite 5).

Die Polfigur eines Pyramidenoktaéders soll mit Hilfe von Koordinaten projiciert werde.n — D ae Sn:;n dg. sg Der Winkelesg(s. Fig. 8) 38⁰0 56 34“ ist gegeben, mithin ist ng=. Der Winkel u(in den Gleichungen 11) ist 45 ⁰° Der Winkel’t ergiebt sich aus dem sphärischen Dreieck nzg vermöge der Gleichung ctgt= sin 45 ctgng, woraus t= 260 33455“. Mithin X= 0,371. r und I= 0,185. r. In ähnlicher Weise kann man die Polfigur der übrigen Gestalten mit Hilfe von Koordinaten projicieren.

¹) Siehe Jordan, Handb. d. Vermessungskunde, 2. Bd.