Daher muss(dp+ idq)(dp— idq) ein Faktor von w sein, oder 4)«= n(dp+ idd)(dp— idd)= n(dp*+ d—²), worinen eine Funktion vonet und u ist. In gleicher Weise erhalte man aus 4= dS2= dX2 dY2+ d2. 5) Q= N(dP † ido)(dP— ido)= X(dPe+ d0*),

worin N, P und Q Funktionen von T und U sind. Es ist L= 4*)= mm, mithin 00 3 6)(dpP ido(dP— ido) d.(P+ 10) d(b i. mmn. 4 dp idq)(dp— ida) d(h+ iq) d(p= Io) N

Da auf der linken Seite der Gleichung nur complexe Grössen vorkommen, so wird der Zähler durch den Nenner endlich teilbar, wenn man für P+ Qi und P— Qi Funktionen von p+ di und p— gi setzt:

7) P Qi= f(p+ qi) und P— Qi= f(p- 4i) fr(p— di) unterscheidet sich von f(p+ di) nur dadurch, dass— i statt+ i gesetzt worden ist. Aus der vorhergehenden Gleichung folgt dann für mm der Wert:

df(p.+† di) df(p.— 9i) N u

dTGE F. d) d(b-= di) n. e df G) dh() N mme y r n

8) mm=

Anwendung der Theorie auf die Abbildung der Kugel auf einer Ebene.

Die Ebene, auf der abgebildet werden soll, gehe durch den Mittelpunkt der Kugel, der zugleich der Anfangspunkt der Koordinaten sein und dessen Radius r sein soll.

Bedeutet t die geographische Länge und 90— u die geographische Breite, so findet man leicht aus einer Handfigur

X=r cost sin u dx= r cos t cos u du— rsin u sint dt Yy= rsin t sin u woraus dy= r sin t cos u du † rsin u cost dt 2= cos u dz=— r sin u du.

Aus dsz= dx² † dy+ dæe ergiebt sich

3, du² 9) ds=== r2 du²+† r sin 2 udt= r sin 2 u( dtz—. ) 4 Sin 2u Integrirt man die Differentialgleichung= 0, so erhält man die Integralgleichung . 7 1 8 b l(etg 5 u)= Const.

Vergleicht man dies mit der obigen allgemeinen Gleichung

3 3. 3 1 P+ di= Const., so ergiebt sich p= t und q— 16 ctg 2) folglich dp= dt und dq=— e mithin dpe r. da-= qt.. 1 Da

du⸗² 3 2 inn). so folgt für n in Gleichung 4) der Wert n= 1? sin zu. sin 2u' 5

= dS2= r2 sin 2u(Ate—