12 Die Natur einer krummen Fläche ist bestimmt durch eine Gleichung f(x, y, z)= 0. Ver- möge dieser Gleichung kann jede der 3 Veränderlichen als Punktion der peiden andern angesehen werden. Noch allgemeiner ist es, 2 neue Veränderliche t und u einzuführen und x, y und 2 als Funktionen vont und u darzustellen.

In Beziehung aut eine zweite Fläche sollen XVZ, T und U dieselbe Bedeutung haben, wie XYZ, t und u in Beziehung auf die erstere.

„Die erste Fläche auf der zweiten abbilden, heisst, ein Gesetz festsetzen, nach welchem einem jeden Punkte der ersten Fläche ein bestimmter Punkt der zweiten entsprechen soll. Dieses wird dadurch geschehen, dass T und U bestimmten Funktionen der zwei veränderlichen Grössen t und u gleichgesetzt werden. Insofern die Abbildung gewissen Bedingungen Genüge leisten soll, werden diese Funktionen nicht mehr willkürlich sein dürfen. Indem dadurch auch X, Y, Z zu Funktionen vont und u werden, müssen diese Funktionen, neben der Bedingung, welche die Natur der zweiten Fläche vorschreibt, auch noch derjenigen Genüge leisten, welche in der Ab- bildung erfüllt werden soll.“

Von einem Punkte O der Oberfläche der ersten Fläche, dessen Koordinaten x, y, z sind, gehen 2 Linienelemente OB und 00 aus, die einen Winkel w mit einander bilden.

Der Winkel der Projektion der 2 Elemente auf der zweiten Fläche sei W. Die Koordinaten von B seien X+† dx, y+ dy, z+ dz, die von C, X+ 3x, y+ 8y, z+ d5z. Das Linienelement 0B nennen wir ds, dessen Projektion auf der zweiten Fläche ds.

Die Conformität fordert, dass w= W und ds zu ds in einem bestimmten Verhältnis steht.

Da wir uns X. y, z, X, Y, Z als Funktionen von u und't denken, so mögen durch Differentiation folgende Gleichungen iareu hervorgehen:

dX= adt+ a'du dX= Adt+ A“du dy= bdt+†b'du und dI= Bdt †+ B⸗du. dz= cdt+e-“du dZz= Cdt+ C'du

Da ds:= dx* † dy+†. dz und dS2= dX2 † dv²+ d2s ist, so erhält man dS=(dSsè Edte+ 2 E'dtdu+ E“du= ds2 A 4s) edui e+ e“du?²

du E“ du*2 (y- I1 29 E 4(At 1 ds„du e du eſits dte au) 5

hier ist e= aa+ bb+ cc E= AA+BB+ C0 2) e⸗ an* bb+ cc und E= A4+ BB. †. 00 = a¹a“+ b“b⸗+ GG⸗ F“= AA+ BB+ G0⸗

Soll ds zu ds unneenefn von du und dt in einem bestimmten Verhältnis stehen, so muss 2, o-⸗ =— und—=— gesetzt werden. 1 E 6 Die Gleichungen der zwei Linienelemente OB und 00, die den Winkel w mit einander bilden, sind, wenn man die laufenden Koordinaten durch, y, E bezeichnet: