Da BOX in Fig. 12 gleich gx in Fig. 8

B0T„„ gy 2 B02.„ 92.„ so folgt cos gx cos gz m— 5—— 84 cos gy cos gy.

Aus dem rechtwinkligen sphärischen Dreieck ngz(Fig. 8) folgt: 1 7 cos gz= cos nz cosng= cos 45 cos 5. Da gy= 90— ng, so ergiebt sich

G0s8 45 cos g„5. a sin 8= C0s 45 ctg 2= cos 45 tg 2 2 Sind umgekehrt die Parameterverhältnisse der Fläche g bekannt(z. B. 1:3: 1) und man will den Winkel der beiden Flächen s und g(Fig. 8) wissen, so erhält man ihn sofort aus der letzten Gleichung, wenn man m= 3 Sett.

Der Unterricht in der Trigonometrie wird anziehend und belebt, wenn die Anwendung dieser Wissenschaft auf Feldmesskunst, Astronomie und Krystallographie praktisch gezeigt wird. Um Probleme der Feldmesskunst und Astronomie praktisch zu lösen, muss man mit complicierten und teuren Instrumenten ausgerüstet sein und muss mit den Schülern ins Freie gehen. Für krystallographische Probleme genügen einfache Krystalle und ein Handgoniometer, und die Messungen können im Lehrzimmer vorgenommen werden. Das ist ein nicht zu unterschätzender Vorzug. An Mannigfaltigkeit stehen die krystallographischen Probleme denen der Feldmesskunst und Astronomie kaum nach.

Die stereographische Projektion ist eine conforme Abbildung.

Der Begriff conform wurde von Gauss in die Wissenschaft eingeführt.¹)) Eine Ab- bildung heisst conform, wenn die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Teilen ähnlich ist. Die Conformität ist die wichtigste Eigenschaft der stereographischen Projektion. In Folge derselben ist z. B. der Winkel zweier Kurven in der Abbildung dem Winkel der zwei Kurven im Urbild gleich.

Die Theorie der conformen Abbildung findet sich nicht in den oben citirten Werken. Sie ist eine geniale Schöpfung von C. F. Gauss und findet sich in der Preisschrift„Allgemeine Auflösung der Aufgabe: Die Teile einer gegebenen Fläche auf einer andern gegebenen Fläche so abzubilden, dass die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Teilen ähnlich wird.“²)

Da sie wenig bekannt und zur erschöpfenden Behandlung unserer Aufgabe unentbehrlich ist, soll sie kurz erörtert und angewandt werden auf die Abbildung der Kugel auf einer Ebene.

¹) Abhandlungen der Kgl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 1845. 2. Bd., S. 4: Untersuchungen über Gegenstände der höheren Geodäsie.

2) Abgedruckt in den„Astronomischen Abhandlungen“. Herausgegeben von H. C. Schuhmacher. 3. Heft 1825, S. 5— 30.