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Die Symmetrieebenen stellt man am besten dar durch die Projektionen der Kreise selbst, die sie auf der Kugeloberfläche bilden. Die 9 Symmetrieebenen der holoédrischen Gestalten des regulären Systems z. B. sind in der Fig. 17 dargestellt:

Die 3 Hauptsymmetrieebenen durch die Projektionsebene durch XX und y y, die 6 anderen Symmetrieebenen durch ab, cd, die Bögen y fy, Xex yfi y und keix.

Stellt man sich die Aufgabe, die Krystallgestalten eines Krystallsystems zu finden, das z. B. 3+= 6 Symmetrieebenen hat, so eignet sich unsere Projektionsmethode sehr gut zur Lösung dieser Aufgabe. Nehmen wir in einem Oktanten eine Fläche g an(s. Dig. 17), 80 fordert die Symmetrie in diesem Oktanten eine zweite Pläche g, eine dritte Fläche hi, eine vierte k¹, eine fünfte k und eine sechste h, im ganzen 6. 8 Flächen. Es muſs daher in diesem System eine Gestalt existieren, die 48 Plächen aufweist und deren Indices wie leicht einzusehen hkl, oder deren Parameter m, 1, n sind. Durch Spezialisierung erhält man hieraus die Indices der übrigen 6 holoédrischen Gestalten 111, 100, 110, h Ko, hhI, und h I1.

Auch das Gesetz der Zonen läſst sich mit Hilfe der stereographischen Projektion leicht und anschaulich erläutern.

Dieses Gesetz kann so formuliert werden: das System der an einer krystallisierten Sub- stanz möglichen Flächen ist so beschaffen, dals aus 4 Flächen, von denen nicht je drei ein und derselben Kante parallel laufen, die übrigen geometrisch abgeleitet werden können ¹).

Die in diesem Gesetz ausgesprochene Eigentümlichkeit kommt nur den Krystallpolyédern zu. Dadurch unterscheiden sie sich von den anderen Polyédern. Nehmen wir(s. Fig. 18) z. B. die 4 Krystallflächen X, y, z und b des regulären Systems an, die so beschaffen sind, dals je 3 derselben nicht ein und derselben Kante parallel sind, so kann man aus ihnen in folgender Weise die übrigen Krystallflächen ableiten.

Indem man x2, yz und bz bis zum Schnitt mit dem Grundkreis verlängert, erhält man die Flächen a, x, y und d. Legt man durch XbX einen Kreisbogen, so crhält man im Durch- schnitt desselben mit zy die Rhombendodekaéderfläche c. Es liefern yb und zXx in ihrem Durchschnitt die Krystallfläche K(101). Der Schnittpunkt von acd und y b k ist die Ikosite- traéderfläche 121. Es liefern zt und Xy, zt und Xc, xt und za, xXt und zy u. s. w. immer neue Schnittpunkte die Krystallflächen vorstellen. Daraus wird man erkennen, daſs aus dem 4 angenommenen PFlächen alle anderen abgeleitet werden können.

Litteratur.

Die stereographische Projektion ist eine alte, in der Astronomie längst bekannte und zur Abbildung der Sterne auf einer Ebene oft angewandte Wissenschaft. In die Krystallographie wurde sie eingeführt von F. E. Neumann: Beiträge zur Krystallonomie, Berlin 1823.— Krystallsystem des Axinits und Bestimmung der Krystallflächen durch ihre Normalen Pogg. Ann. 1825. 4. 63.— Thermische, optische und krystallographische Axen des Gypssystems. Pogg. Ann. 1833, 27, 240.— Albit Abhandl. Berlin. Akad. 1830. W. H. Miller hat zur Verbreitung und Ausbildung der Methode am meisten beigetragen. Von ihm sei erwähnt Lehrbuch der Krystallographie, übersetzt und erweitert durch J. Grailich, Wien 1856. Seine Abhandlungen finden sich in Phil. Mag. London.

¹) Siehe A. F. Möbius, Bericht über die Verhandl. der sächs. Ges. d. Wi. Math. phys. Kl. 1849, 45 und daraus in Crelle, Journ. f. Math. 1852, 43, 365.