Mache Xz ei= 45°(Fig. 7) verbinde ei mit x, so ist der Schnittpunktef mit der Linie
.. 45 zy die stereographische Projektion des Poles der Rhombendodekaéderfläche. Da XXO1= 9—
22° 30 ¹ ist, so ist, wenn man den Radius Xz= 1, Setzt tg 22°30 1= zf. Man kann daher auch 2f mit Hilfe eines Maalstabes auftragen. In analoger Weise werden die übrigen Pole projiziert. Die Projektionen sind fi h und h'.
3. Projektion der Polfigur des Oktaéders(111) oder 0.
Alle Punkte eines grölsten Kreises auf der Oberfläche der Kugel repräsentiren, wie schon bemerkt, tautozonale Flächen. Da die Projektion eines grölsten Kreises der Kugel ein Kreis oder eine durch den Mittelpunkt des Grundkreises gehende gerade Linie ist, so repräsentieren alle Punkte auf denselben Kreisbogen oder auf derselben durch den Mittelpunkt gehenden geraden Linie des Grundkreises, tautozonale Flächen.
Fallen zwei Axen des Oktaéders zusammen mit den beiden Durchmessern XX yy des Grund- kreises(Fig. 7), so müssen die Projektionen der Pole zweier Oktaéöderflächen in die Linie d'z d', zweier anderer in die Linie ezen fallen; sie müssen aber auch in den Bögen XfX und XfIX liegen, mithin sind die Durchschnittspunkte bebig der 2 Bögen mit den 2 Linien die ge— suchten Projektionen der Oktaéderflächen. Hierbei ist vorausgesetzt, daſs die Rhombendodekaéder- flächen fhfihi vorher konstruiert worden sind. Ist dies nicht der Fall, dann konstruiert man wie folgt.
2. Methode. Denken wir uns(s. Fig. 7) um den Mittelpunkt z des Grundkreises eine Kugel vom Radius Xz. ziehen von z aus eine Normale auf eine Oktaéderfläche und legen durch diese Normale eine Ebene senkrecht zum Grundkreis, so wird die Kugel in einem Kreise ge— schnitten, dessen Projektion die Linie dzdi ist. Die Normale bildet mit der im Punkt z auf dem Grundkreis senkrecht stehenden Linie, wie durch Messung und auch durch Rechnung leicht gefunden werden kann, den Winkel 54°)44. Verbinden wir den Pol der Oktaéderfläche auf der Kugel mit dem Augpunkte, so durchschneidet er den Grundkreis in der Projektion des Poles. Um die Konstruktion auf dem Grundkreis auszuführen, drehen wir den grölsten Kugel- kreis, in dem der Pol liegt, um die Linie ddi, pis er mit dem Grundkreis zusammenfällt und verfahren so: Mache elzr= 54 44“ verbindeer mit e, so wird die Linie dz in der gesuchten Projektion b des Poles der Oktaéderfläche durchschnitten. Auch mit Hilfe eines Malsstabes kann man zb auftragen. Ist der Radius des Kreises gleich eins, so ist zb= tg 214 ü tg 27° 22= 0,52. Daſs die Normale auf die Oktaöderfläche mit der Z-Achse den Winkel 54 44 bildet, ergiebt sich leicht durch Berechnung des sphärischen Dreiecks hzb(Fig. 7) in welchem 2 h= hz b= 45 und a h b= 900 ist.
4. Projektion der Polfigur des Triakisoktaéders(221) oder 20.
Die Triakisoktaéder weisen zweierlei Winkel auf; die Winkel an den Oktaéderkanten und die Winkel an den anderen Kanten. Aus einem Winkel allein kann die Polfigur jedes Tirakis- oktaëders projiziert werden. Unter dem Winkel zweier Krystallflächen verstehen wir den Winkel der beiden Normalen auf die Krystallflächen. Der Winkel g zweier Krystallflächen. die eine Oktaéderkante bilden, sei gegeben und gleich 38 5630“.
Um die Projektion auszuführen, lassen wir zwei Krystallaxen des Triakisoktaéders zusammen- fallen mit den zwei Durchmessern XXyy des Grundkreises(s. Fig. 8). Eine Ebene senkrecht