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4. Aufgabe. Auf der Projektion eines gröſfsten Kreises(Fig. 6) ist ein Punkts gegeben, man soll den Punkt si auf der Projektion finden, der vons um den Winkela auf der Kugeloberfläche entternt ist.
Suche den Pol P von As(nach Aufg. 1) und seine Projektion p. verbinde p mit s, verlängere bis r, mache mache rOri= und verbinde r¹ mit p, so ist der Schnittpunkt si der gesuchte Punkt.
Zusatz. Um aus der Projektion zweier gröfster Kreise den Wiankel beider Kreise zu finden, suche man die beiden Pole P und Pi der Kreise auf dem Grundkreis; ihr Abstand ist dem Winkel der beiden gröſsten Kreise gleich.
5. Aufgabe. Die stereographische Projektion—und p(kig. 4) zweier Flächenpole, die nicht diametral gegenüber liegen, sind gegeben; man soll den Kreis ppi konstruieren, oder seinen Mittelpunkt finden.
Auflösung. Konstruire zu p nach der in Aufgabe 2 gegebenen Anleitung den mit o in einer Linie liegenden Punkt pi¹, dann sind 2 Sehnen pq—hund qp“ des gesuchten Kreises bekannt. Die Mittelsenkrechten auf diesen Sehnen schneiden sich im Mittelpunkt des Kreises pq pi.
Andere Auflösung.
Ziehe po und oa Lop, halbiere pa und ziehe im Halbierungspunkte eine Senkrechte, welche den Sehnemmittelpunkt m liefert. Eine Senkrechte in m auf ppi geht durch den Mittel- punkt des gesuchten Kreises. Verbinde—' mit o. ziehe eine Senkrechte auf qo im Punkte o und verfahre genau so wie eben angegeben. Alsdann erhält man eine zweite Linie, die auch durch den Mittelpunkt des gesuchten Kreises geht. Sind die stereographischen Projektionen lmn. dreier Pole auf dem Grundkreise gegeben, so kann man nunmehr die 3 Kreisbögen lm, In und mu konstruieren. Ermittelt man zu jedem dieser 3 Kreisbögen den Pol, so erhält man auch das Polardreieck limunl.
Anwendungen.
1I. Projektion der Polfigur des Würfels 100 oder 0 G◻.
Beschreiben wir um den Mittelpunkt O des Würfel(s. Fig. 1.) eine Kugel und ziehen von 0 aus Senkrechten auf jede Würfelfläche, so sollen diese die Oberfläche der Kugel in den Punkten YZYXXA durchstechen. Verbinden wir jeden dieser Punkte mit dem Augpunkt A, so durchstechen die Verbindungslinien den Grundkreis, der mit XX X zusammenfallen soll in den gesuchten Projektionen yz VYXX der Fig. 7.
2. Projektion der Polfigur des Rhombendodekaéödersll0 oder σ 0.
Lassen wir die Axen des Rhombendodekaéders mit X X YY ZA in Fig. 1 zusammenfallen und verfahren wie vorher, so projizieren sich die in dem Grundkreis X YX liegenden PDole der Rhombendodekaéderflächen, wie leicht einzusehen nach deldie(Fig. 7) weil Xz d= dzy= 450 ist.
Die übrigen Projektionen erhält man in folgender Weise. P in Fig. 1 sei der Pol einer Rhombendedekaöderfläche, die nicht auf dem Grundkreis senkrecht steht. Es ist Z0 P= 45, mithin ZA P= 22°30 1. Verbinde P mit A, so durchsticht die Verbindungslinie den Grund- kreis in der gesuchten Projektion p. Drehe, um die Konstruktion auf den Grundkreis auszu- führen, die Ebene ZPYA um YY, bis sie mit dem Grundkreis zusammenfällt, dann gestaltet sich die Konstruktion so: