3

linie den Grundkreis im gesuchten Punkte p. Wir durchschneiden die Kugel längs BP Y(Pig 1), BPY in Fig. 2 ist dieser Schnitt, tragen B0 P gleich 90°an, verbinden P mit A. so ist der Schnittpunkt p der beiden Linien AP und Y X die stereographische Projektion. Um die Konstruktiom auszuführen, klappen wir den gröfsten Kreis BPY(ig. 2) um Y Y. bis er mit dem Grundkreis vDY zusammenfällt, wodurch A nach D kommt(Fig. 3), verbinden D mit b, verlängern bis B, machen B0 P= 90 ⁰°, verbinden P mit D, so ist p die stereographische Projektion des Poles des Kreises Db Di auf dem Grundkreis Y D Y.

2. Aufgabe. Ein Punktp(Fig. 4) der Projektion dpe eines Kreises auf dem Grundkreise bda ist gegeben. Man sucht den Punkt pi, der mit p und dem Mittelpunkt o des Grundkreises in einer Linie liegt.

Es sei p' der gesuchte Punkt, so muls sein, da die 4 Punkte dpepi in dem Umfange eines Kreises liegen:

do Poe= bo. p o.

Vermöõge dieser Gl. kann pio als vierte geometrische Proportionale konstruiert werden. Für die Ausführung empfiehlt sich folgende Konstruktion: Verlängere po, ziehe o aLpo, ver- binde a mit p und verlängere bis b; verbinde b mit o und verlängere bis c. Verbindet man nun a mit c und verlängert, so wird po in dem gesuchten Punkte pi geschnitten; denn bac= 90°und oa L po folglich

Oa2²= DO pP10 und da oa== eo⸗ d ist, so ist po pto= eo. od.

Da piap= 90° ist, so kann man aus dem Mittelpunkte m der Hypotenuse des Dreiecks piap mit mp als Radius einen Kreis beschreiben, der durch pi, a und p gehen mufs. Daher ist mp= m a. Halbiert man daher pa und zieht im Halbierungspunkt eine Senkrechte auf p a, so muſs sie durch m gehen d. i. durch den Mittelpunkt der Sehne pip. Man kann daher auch p' konstruiren, indem man mpi= mp macht.

3. Aufgabe, Die wahre Gröſse eines in der Projektion gegebenen Kreis- bogens zu finden.

Es sei TYPO(Fig. 5) ein gröfster Kreis der Kugel, YY und Q0 zwei grölſste Kreise, die auf der Ebene TYPOQ senkrecht stehen und daher sich in einer auf TYPQ senkrechten Linie in O schneiden; HO sei ein dritter grölſster Kreis, der den Winkel IOQ halbiert. Verbinden wir die beiden Pole T und P von Y Y und QO und legen durch TP Ebenen, von denen keine durch den Mittelpunht der Kugel gehen soll, so schneiden diese die Kugel in Kleinkreisen TRSP, T R1SiP. Wegen der Symmetrie mufs 0OS= OR und 081= O R:, folglich auch SSI= RR Sein. Nun wähle man die Ebene Y RY zum Grundkreis und den Punkt T zum Aug- punkt. Der Punkt P projiziert sich alsdann nach p. Die Punkte R und Ri(Fig. 5) im Um- fang des Grundkreises YR X, der in Fig. 6 in seiner wahren Gestalt als rir N sich darstellt, zeigen sich in der Projektion(Fig. 6) iner und ri. Die Punkte S und Su projicieren sich nach s und s¹ in Fig. 6. Es sind daher pSr und psiri die Projektionen der Kleinkreise PSR und PS1 Ri der Fig. 5. Da R R1= SSI ist, so findet man die wahre Gröſse eines in der Projektion gegebenen Kreisbogens sSu in folgender Weise. Suche den Pol p zu ssi(Fig. 6), verbinde p mit s unds¹ und verlängere bis r und r¹, so ist rr¹ die wahre Gröfse des in der Projektion ge— gebenen Kreisbogens S's1.