Verschiebt man alle durch die einzelnen Punkte des gröſsten Kreises vorgestellten Flächen mit sich selbst parallel, so laufen sie der Zonenaxe parallel. Flächen, die ein und derselben Linie (der Zonenaxe) parallel laufen, nennt man tautozonale Flächen. Auch sagt man, solche Flächen liegen in einer Zone.
Liegen daher die Pole mehrerer Krystallflächen auf demselben grölsten Kreis, so sind die durch die Pole vorgestellten Krystallflächen tautozonal, sie liegen in derselben Zone.
Um die sämtlichen Pole auf einer Halbkugel mit einem Blick übersehen zu können, pro- jicieren wir sie aut eine Ebene nach der stereographischen Projektionsmethode, die nun erläutert werden soll, soweit sie zum Studium der Krystallographie notwendig ist. Im folgenden werden daher nur grölste Kreise der Kugel projiziert.
Stereographische Projektion.
Als Projektionsebene wählen wir eine durch den Kugelmittelpunkt gehende Ebene X Y, Fig. 1, deren Pole A und Z sind.
Hat der Krystall Symmetrie-Ebnen, so lassen wir X Y mit einer Symmetrie-Ebene zusammen- fallen. Die Projektionsebene X Y nennen wir Grundkreis.
Wir verbinden jeden Pol auf der Oberfläche der Kugel, z. B. den Pol P des Kreises B D C, mit dem Pole A des Grundkreises dem sogenannten Augpunkt. In diesen Punkt A denkt man sich dals Auge versetzt. Die Verbindungslinie durchsticht den Grundkreis XD X in einem Punkt p, der die stereographische Projektion des Poles P auf dem Grundkreise ist. Der Kürze wegen benennen wir in Zukunft eine Krystallfläche durch einen Buchstaben(z. B. p), der die Projektion des Poles P der Krystallfläche ist.
Zunächst erhebt sich nun die Frage: Welche Kurve bildet die Projektion eines grölsten Kreises? Alle grölsten Kreise, deren Durchmesser mit AZ zusammenfällt, projizieren sich auf dem Grundkreis als gerade durch den Mittelpunkt O gehende Linien, alle übrigen grölsten Kreise, z. B. BD CD als Kreise,¹) was sogleich bewiesen werden soll.
Die Schnittpunkte D und D¹ des Kreises BDCD(Fig. 1) mit dem Grnndkreis sind zu- gleich die Projektionen der zwei Punkte auf dem Grundkreis. Die Schnittpunkte der Linien A B und AC mit O X liefern die Projektionen p und c(Fig. 2) der Punkte B und C des Kreises BD CDi. Die Fig. 2 ist ein Schnitt durch die Kugel längs BZ YCA, die Fig. 3 ein Schnitt längs YDY Da der Winkel BAC(Fig. 2) ein Rechter ist, so folgt aus dem Dreieck bAc
b0. OG= r2= r.= D0D 0(Fio. 3).
Da somit die Produkte aus den Sehnenabschnitten gleich sind, müssen die 4 Punkte Db Dic (Fig. 3) in einem Kreise liegen. Von diesem Kreise wird später nur der Teil Db Di gezeichnet, der in den Grundkreis fällt.
1. Aufgabe: Suche die stereographische Projektion des Poles des Kreises Db D¹(Fig. 1).
Errichte im Punkte O der perspektivischen Fig. 1 eine Senkrechte OP auf den grölſsten Kugelkreis BD CD:, verbinde den Pol P mit dem Augpunkt A, so durchsticht die Verbindungs-
¹) Nicht nur alle Groſskreise, auch alle Kleinkreise auf der Kugel projizieren sich auf dem Grundkreis als Kreise. Der Beweis dafür findet sich in den Seite 9 angeführten Lehrbüchern.