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und man sieht, dass jede von den beiden Diagonalen des Vierseits J A, C K, von denen die eine durch den Schnitt von C, und N, die andere von A und B geht, ausserdem noch durch den Schnitt zweier eigentlichen Doppeltangenten und den Schnitt einer solchen mit einer un- eigentlichen Doppeltangente geht.*) 1

Die Gesammtzahl der durch die 96 Schnittpunkte je einer eigentlichen mit einer un- eigentlichen Doppeltangente hindurchgehenden Geraden, von denen jede noch den Schnitt- punkt eines solchen Tangentenpaares und denzweier eigentlichen Doppeltangenten enthält, ist daher z. 30.96= 1440, d. h. die 96 Schnittpunkte, welche die 16 Doppeltangenten mit den 6 vom Doppelpunkt aus an die Kurve gezogenen Tangenten bilden, liegen zu zweien mit je einem Schnittpunkt zweier Doppeltangenten zusammen auf 1440 geraden Linien.

Da sich unter den Pankten, welche auf einer dieser 1440 Geraden liegen, ein Schnitt- punkt zweier Doppeltangenten findet, so müssen diese Geraden in der Gesammtzahl der durch den Schnittpunkt zweier Doppeltangenten gehenden Diagonalen von Vierseiten enthalten sein. In der That lässt sich ihre Zahl in folgender Weise bestimmen. Wir fanden oben, dass durch den Schnitt der Doppeltangenten A uud B von zwölf Vierseiten je eine Diagonale geht und dass jeder der beiden Eckpunkte des Vierseits, welche diese Diagonale verbindet, durch eine eigentliche und eine uneigentliche Doppeltangente gebildet wird. Durch die 120 Schnittpunkte der Doppeltangenten gehen daher 12 120= 1440 solcher Geraden.

Zum Schluss sei noch bemerkt, dass sich die Gleichung einer Kurve vierter Ordnung mit einem Doppelpunkt leicht finden lässt, welche zwei gegebene Paare von geraden Linien zu Doppeltangenten und ein drittes Paar zu Tangenten hat, die zugleich durch den Doppel- punkt gehn.

In der Theorie der Kurven vierter Ordnung ohne singulären Punkt ist für eine solche Kurve die Gleichung

1 Vab+† e Veéd+† Vef= 0 gegeben worden, in der a b, cd und ef drei Doppeltangentenpaare der Kurve sind. Analog hat die Gleichung einer Kurve mit einem Doppelpunkt die Form NIVAB+ VAI B+ VO D= O, wo die Grössen A, B, A1, B), C und D die bisherige Bedeutung haben. Daher hat man zur eindeutigen Bestimmung einer Kurve vierter Ordnung mit einem Doppelpunkt, welche

⁴) Welche der beiden Diagonalen durch den Schnitt von A und B, oder von C. und N geht, erfährt man durch einen Vergleich der letzteren Identität mit

1— 1* 1 1G 1. 6 D.— L. 0) C— 19 2.)— 2 K 41— 2 CJ.

Es folgt darnus, dass die Schnittpunkte von A und B, C und A., J und K auf einer Geraden liegen.

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