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dasselbe in Bezug auf die durch den Schnitt von A und B gehende Diagonale von je vieren der dreimal acht übrigen Vierseite gilt, wührend diese Diagonale in den dreimal vier andern Vierseiten nur durch die Schaittpunkte von eigentlichen Doppeltangenten geht. Von den letzten dreimal vier Vierseiten ist nun jedes doppelt gerechnet, ferner sind die andern dreimal vier Vierseite identisch mit den zwölf ersten Vierseiten.

Daher gibt es unter den 18 Geraden, welche durch den Schnittpunkt zweier eigent- lichen Doppeltangenten gehen und noch zwei Schnittpunkte von andern Tangenten enthalten, sechs, bei denen diese Tangenten sämmtlich eigentliche Doppeltangenten sind.

Die Gesammtzahl dieser letzteren Geraden ist demnach 4. 6. 120= 240, d. h. die- 120 Schnittpunkte der 16 Doppeltangenten liegen zu dreien auf 240 gera- den Linien.

Wir gehen zu der Untersuchung der Anzahl derjenigen Geraden über, welche durch den Schnittpunkt einer eigentlichen mit einer uneigentlichen Doppeltangente gehn.

Durch den Schnittpunkt von A und B, geht eine Diagonale derjenigen Vierseite, welche durch Kombination eines der vier letzten Paare der Gruppe

A A, B B, J Ci K D.. L. E., M. Fi mit einem der drei letzten Paare der Gruppe A B, A B. C D, E F, G H gebildet werden. Ihre Zahl ist also zwölf. Da nun das Paar A B. ausser zu dem Kegel- schnitt A B1 B A noch zu den Kegelschnitten A B N Ci, A B1 0 D:, A B1 P Ei und A B1 0 Fi gehört, so gibt es im Ganzen 60 durch den Schnitt von A und B1 gehende Diagonalen von Vierseiten. Von diesen ist aber wieder jede doppelt gezählt, wie man be- merkt, wenn man die Gruppen der Kegelschnitte herleitet, welche den fünf Kegelschnitten, zu denen A B4 gehört, entspringen. Zur Erläuterung geben wir die Gruppen an, welche aus A BN CI und A B1 0O Di entspringen. Aus A B. N. CI: A(1, N. B1, J A1, D D., F E;, H Fa; A N, B1 C;, C K, E D, G M; aus A B1 0 Di: A, D;. O B.:, K A:, D C:, G Ei, E Fi; 4 0, B1, D:, C ₰, F M, H L,

aus denen sich die Richtigkeit der Behauptung kür einige der Vierseite ergibt. Die beiden andern Punkte, durch welche die den Schnitt von A und B1 enthaltende Diagonale geht, werden gebildet: der eine durch zwei eigentliche, der andere durch eine eigentliche und eine uneigentliche Doppeltangente. Um dieses zu zeigen, wählen wir ein Vierseit, welches aus den angegebenen Gruppen hervorgeht: A, C J K.

Der durch A B, N C, gehende Kegelschnitt lässt sich ausdrücken: durch X¾ A C.,

+ 1(N B.— J A,) und durch A N./ 4(B. C.— C K). Hieraus folgt die Identität

., 4 1— 1 1 (.— X)(A— u.) 1.JA.— 4 K

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