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Hiernach hat man, um sämmtliche zu einem Paar uneigentlicher Doppeltangenten gehörende Paare von Doppeltangenten zu finden, das erstere nacheinander mit sämmtlichen Doppeltangenten zu kombinieren. Da hierbei aber jede Kombination zweimal auftritt, indem z. B. die Kombination A, B., A B sowohl wenn man von A, B, A als auch wenn man von An B. B ausgeht, entsteht, so gehört zu je 8 Paaren von Doppeltangenten ein Paar uneigent- licher Doppeltangenten.

Damit sind folgende Sätze bewiesen:

Die 120 Paare von Doppeltangenten bilden 30 Gruppen von je 4 Paaren, dieso beschaffen sind, dass die Berührungspunkte von irgend zweien dieser Paare auf einem Kegelschnitt liegen.

Die 16 Doppeltangenten und die 6 vom Doppelpunkt an die Kurve gezogenen Tangenten bilden mit einander 16 Gruppen von je 6, aus einer Doppeltangente und einer vom Doppelpunkt aus gezogenen Tan- gente bestehenden, Paare, von der Beschaffenheit, dass die Berührungs- punkte von irgend zwei Paaren einer Gruppe auf einem Kegelschnitt liegen, der ausserdem noch durch den Doppelpunkt geht.

Die 16 Doppeltangenten und die 6 vom Doppelpunkt an die Kurve gezogenen Tangenten bilden 15 Gruppen, von denen jede aus 1 Paar Tangenten und 8 Paaren von Doppeltangenten besteht und so beschaffen ist, dass jeder durch die Berührungspunkte eines Dop- peltangentenpaares und den Doppelpunkt gelegte Kegelschnitt durch die Berührungspunkte ein und desselben vom Doppelpunkt aus gezogenen Tangentenpaares geht.

Derselbe Weg, welcher zur Untersuchung, ob die Berührungspunkte einer Doppel- tangente mit denen bestimmter anderer Tangenten auf eben demselben Kegelschnitt liegen können, diente, führt uns auch zur Erkenntnis der Anordnung der Doppeltangenten und ihrer Schnittpunkte.

Behalten wir die Bezeichnung der obigen Gruppen bei, so lässt sich der durch die Berührungspunkte von A, B, Al und B, gehende Kegelschnitt sowohl durch

1AA.*¼ 1(B B1— 4 C) als auch durch 1A R, † à G A1— 0 b9) uusdrücken. Aus der sich hiermit ergebenden identischen Gleichung 1 B) 4 4 C44— ½ R1)(1=)— 7 501 1 D4

ersieht man, dass von den Diagonalen des durch die vier Geraden J, Ci, O und D, gebildeten Vierseits die eine durch den Schnittpunkt von A und B geht.