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vier aus je einer eigentlichen und einer uneigentlichen Doppeltangente bestehende Paare. Deshalb ist jeder dieser Kegelschnitte in der Zahl 596 viermal gezühlt und die wirkliche Zahl ist 4.5. 96= 120.

Wir haben also die Sätze:

Durch die Berührungspunkte der Doppeltangenten einer Kurve vierter Ordnung mit einem Doppelpunkt lassen sich 60 Kegelschnitte legen, von denen jeder durch die acht Berührungspunkte von vier Dop- peltangenten geht.

Und:

Durch die Berührungspunkte der Doppeltangenten einer Kurve vierter Ordnung mit einem Doppelpunkt, der vom Doppelpunkt an die Kurve gezogenen Tangenten und den Doppelpunkt lassen sich 120 Kegel- schnitte legen, von denen jeder durch die vier Berührungspunkte zweier Doppeltangenten, die zwei Berührungspunkte zweier vom Doppelpunkt aus gezogenen Tangenten und den Doppelpunkt geht.

Es gibt 180 Kegelschnitte, von denen jeder durch die Berührungs- punkte vom vier Doppeltangenten oder durch den Doppelpunkt und die Berührungspunkte zweier Doppeltangenten und zweier vom Doppel- punkt aus gezogenen Tangenten einer Kurve vierter Ordnung mit einem Doppelpunkt geht.

Um die Gruppen, in welche sich die Doppeltangenten und Tangenten ordnen lassen, vollständig erkennen zu können, bleibt noch zu untersuchen übrig, mit wie vielen Berüh- rungspunktepaaren von Doppeltangenten ein und dasselbe Berührungspunktepaar von uneigent- lichen Doppeltangenten nebst dem Doppelpunkt zusammen auf Kegelschnitten liegen kann. Aus der Gruppe(8) kann man den Schluss ziehen, dass wenigstens zu je vier Doppeltangen- tenpaaren ein Paar uneigentlicher Tangenten gehört, aber man darf nicht umgekehrt schliessen, dass zu je einem Paar von uneigentlichen Doppeltangenten nur vier Paare von Doppeltan- genten gehören, bevor nicht erwiesen ist, dass das zu je vier Paaren von Doppeltangenten gehörige Tangentenpaar für jede andere Gruppe von vier solcher Paaren ein anderes ist. Es lässt sich aber leicht einsehen, dass dieses unmõöglich ist. Denn die 120 Paare von Doppel- tangenten lassen sich in 30 Gruppen von je 4 Paaren ordnen, und, sollte das zu jeder Gruppe gehörige uneigentliche Doppeltangentenpaar für jede Gruppe ein anderes sein, so müsste es 30 verschiedene Tangentenpaare geben. Die sechs Tangenten bilden aber nur 15 Paare.

Nun ist nach dem bisher Entwickelten die Richtigkeit des folgenden Satzes leicht einzusehen:

Legt man durch den Doppelpunkt, die Berührungspunkte zweier von die- sem aus an die Kurve gezogenen Tangenten und die Berührungspunkte einer Doppeltangente einen Kegelschnitt, so geht derselbe noch durch die Berührungs- punkte einer andern Doppeltangente.