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Die uneigentlichen Doppeltangenten sind hierin in willkürlicher Ordnung geschrieben. Wie bei der Gruppe(12), so lässt sich auch hier beweisen, dass keine der vier Geraden N, O, P und Q schon in einer der beiden vorhergehenden Gruppen vorkommen kann.

Ferner liefert die Verbindung von irgend zweien dieser neuen Paare mit einander oder mit A B noch einen neuen Kegelschnitt des Systems, z. B. O Di P Ei, so dass sich aus(14) noch zehn neue Kegelschnitte herleiten lassen.

Da die Werte von?, welche den die Kurve vierter Ordnung erzeugenden Kegelschnitt, in gerade Linien zerlegen, wie sich schon in der Theorie der Doppeltangenten einer Kurve ohne besondern Punkt gezeigt hat, sämmtliche Doppeltangentenpaare liefern, die mit einem gegebenen Paare zu demselben Kegelschnitt gehören, so können ausser den gefun- denen Doppeltangenten keine andern der Kurve angehören. Denn, sei Reine Doppeltangente, welche unter den angegebenen nicht enthalten ist, so muss der Kegelschnitt, welcher durch den Doppelpunkt, die Berührungspunkte von Ai, Bi und von R gelegt werden kann, noch durch die Berührungspunkte einer andern Doppeltangente mit der Kurve gehen; diese sei S. Dann gäbe es aber einen Kegelschnitt A B R S.

Daraus folgt: Eine Kurre vierter Ordnung mit einem Doppelpunkt hat 16 Doppeltangenten.

Wie oben gezeigt worden ist, lässt sich aus jeder der aufgestellten Gruppen von Kegelschnitten eine Schar anderer, die Berührungspunkte von Tangenten enthaltender, Kegel- schnitte herleiten, indem die Kombination eines der 5 resp. 6 Paare einer Gruppe mit irgend einem andern derselben Gruppe einen Kegelschnitt des Systems liefert. Will man noch andere Kegelschnitte des Systems bilden, so hat man zu beachten, dass zu zwei Doppeltan- genten einer Gruppe keine Doppeltangente derselben Gruppe hinzutreten darf. So wurde z. B. bewiesen, dass zu der Gruppe, welche die Geraden A und A, enthält, keine Gerade der Gruppe A B, A. B:, gehören darf..

Damit noch ein anderes Beispiel angeführt werde, soll bewiesen werden, dass zu den Geraden A und C der Gruppe A B, A, B.,... keine der uneigentlichen Doppeltangenten dieser Gruppe treten darf. Der durch A, B, A, und B, gehende Kegelschnitt lässt sich durch

1AB 1 A. B.— Cp)

darstellen. Wäre nun A C A X ein Kegelschnitt des Systems, so würde er in der Gruppe A A,, B Bi,... vorkommen und der Kegelschnitt A BA, B, sich auch in der Form

2A 4.—. 4(3 B— CX) darstellen lassen. Es bestände also die Identität