— 12—

(11).—+ 2 X V+ 2 AA,— 0

in gerade Linien zerfallen lassen, immer eine von beiden durch den Doppelpunkt der Kurve gehn, während die andere diesen Punkt im Allgemeinen nicht enthält. Jeder der fünf(von- einander verschiedenen) Werte von-, für welchen der Kegelschnitt in gerade Linien dege- neriert, liefert uns daher eine eigentliche und eine uneigentliche Doppeltangente.

Daher der Satz:

Durch die Berührungspunkte einer Doppeltangente, den Doppel- punkt und den Berührungspunkt einer von dem Doppelpunkt aus an die Kurve vierter Ordnung mit einem Doppelpunkt gezogenen Tangente lassen sich fünf Kegelschnitte legen, von denen jeder noch durch den Be- rührungspunkt einer andern derartigen Tangente und die zwei Berüh- rungspunkte einer andern Doppeltangente geht.

Die Paare von Geraden, in welche der Kegelschnitt(11) zerlegt werden kann, ausser- B B., seien

J, Ci; K, D.; I, E,; M, F., wo die mit den Indices versehenen bnchstaben die vom Doppelpunkt aus gezogenen Tangenten- bezeichnen sollen. Dann sind die fünf erwähnten Kegelschnitte A A B B. A A. J, (12). A A, K D. I A A L E. A 1 M F.

Die in der Gruppe dieser nis Kegelschnitte vorkommenden uneigentlichen Doppel- tangenten sind die einzig möglichen, da die Zahl der Tangenten, welche von einem k fachen Punkte an eine Kurve nter Ordnung gehen, n— n— k(k+ 1) beträgt.*)

Von den Geraden J, K, L und M ist keine mit einer der in der Gruppe(8) vorkom- menden identisch. Diese Behauptung lässt sich auf einem Wege, den man in der Theorie der Doppeltangenten der Kurven ohne singulären Punkt eingeschlagen hat, beweisen.

Angenommen, es wäre z. B. J dieselbe Gerade wie C, d. h. es gübe in dem System. einen Kegelschnitt A A. CC.. Man kann*O so bestimmen, dass

A1 ,B †. 24 V† 2ABZP CD und, wie hieraus folgt, v=(CD- A: 8,)— 41 2AB ist. Schreibt man die Gleichung(10) in der Form A A1(B B.+ 2 p V P†. 62 A Ai)=(AA: † V:,

so müsste sich so bestimmen lassen, dass

*) Salmon-Fiedler. Geom. d. höheren eb. Kurven, Art. 79.