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Berührungspunkte von Doppeltangenten gehen, wollen wir dadurch bezeichnen, dass wir die Doppeltangenten angeben, durch deren Berührungspunkte der Kegelschnitt geht, z. B. den Kegelschnitt, welcher durch die Berührungspunkte der Tangenten A= o, B= 0, C= o, D= o geht, mit AB C D. In derselben Weise, wie bei den Doppeltangenten der Kurven ohne singulären Punkt, lässt sich zeigen, dass, wenn AB CD und AB EF zwei Kegelsehnitte sind, es auch einen Kegelschnitt CD EF gibt. Der Beweis erleidet dadurch, dass in unserem Falle uneigentliche Doppeltangenten auftreten, keine Aenderung. Der Beweis dafür, dass es einen Kegelschnitt gibt, der durch die Berührungspunkte der Doppeltangenten Cund D, durch den Doppelpunkt und die Berührungspunkte von A, und B, geht, d. h. kurz, einen Kegel- schnitt C D Ai B., gestaltet sich so:

In der Gleichung

A B(A, B,+ 2 à V+ 2 A B)= Q A B+ V)2 lässt sich nach dem oben Gesagten*à so bestimmen, dass 4. B1+ 2 à V 2A B= Cb wird, und, wenn wir den bieraus folgenden Wert— Vv= CD A, 8.)— 4 1AB

in die Gleichung der Kurve

A B A, B.= V2 substituieren, erhalten wir (9).. 4 C D A, B1=(C5+ A B:— X A B).

Die Form dieser Gleichung unserer Kurve lehrt, dass die Berührungspunkte der Doppeltangenten C, D, A, und B, auf einem Kegelschnitt liegen, d. h. dass der Kegelschnitt C D A Bl vorhanden ist.

Nach dem so eben Bewiesenen ergibt sich aus den Gleichungen(8) noch die Existenz von drei Kegelschnitten, von denen jeder durch die Berührungspunkte von vier Doppeltan- genten geht, und von drei Kegelschnitten, welche den Doppelpunkt der Kurve, die Berührungs- punkte zweier eigentlichen und zweier uneigentlichen Doppeltangenten enthalten.

In derselben Weise, wie wir oben von den Doppeltangenten A= 0, B= 0 aus- gehend fanden, dass sich die Gleichung der Kurve auf die Form

4 BE= VI bringen lasse, worin die Variablen nur in der höchsten Dimension enthält, gelangen wir, wenn wir an die Stelle einer der beiden Doppeltangenten, etwa B, eine der uneigentlichen Doppeltangenten, etwa A,, setzen, zu einer bunn der Kurve

A A,— VI; in dieser Gleichung enthält aber die erhaee zweiten Grades alle Glieder mit Ausnahme des von den Variablen freien Gliedes. Schreiben wir diese Gleichung wieder in der Form (10)... A A,(†.+ 2 à V+ 2 A 4A,)=(A 44 † v)?, 92

so muss, wenn wir den Kegelschnitt 2*