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man den Kegelschnitt(6) durch Substitution gewissér Werte von) in gerade Linien übergehen lässt. Diese Werte sind die Wurzeln der durch Gleichsetzung der Diskriminante von(6)- mit Null gebildeten Gleichung:

2(1+ 2 c), à2+ 21 b—(b+—), 1(2 e— X 2) 22+ 2 X b—(P—), 2(pPd+ 2 9¹), 12d— S)= 0. X(2 e— Xνα), X(2d— X), 2 12 α

Wie man sieht, ist diese Gleichung in X vom sechsten Grad, enthält aber zwei gleiche Wurzeln(-= 0) so, dass die Zahl der Werte von*, für welche die Gleichung(6) zerfällt, fünf beträgt. Unter diesen findet sich der Wert X= ◻, welcher den Kegelschnitt in die beiden Doppeltangenten x— α= 0 und y—= 0 übergehen lässt. Für die übrigen vier Werte von X erhalten wir je zwei im Allgemeinen nicht durch den Doppelpunkt gehende Gerade, d. h. je zwei eigentliche Doppeltangenten der Kurve.

Mit Berücksichtigung des eben Gesagten und Beachtung des Umstandes, dass nur für- einen Wert(%△= 0) der Kegelschnitt ().. 1G— GhäS H x † bY † ey* 4 X+ e)= 0 durch den Doppelpunkt geht, folgt aus der Gleichung(2) der Satz:

Durch die vier Berührungspunkte zweier Doppeltangenten einer Kurve vierter Ordmung mit einem Doppelpunkt können drei Kegelschnitte gelegt werden, welche durch die vier Berührungspunkte zweier andern Doppeltangenten gehen, und ausserdem noch ein Kegelschnitt, welcher durch den Doppelpunkt und die zwei Berührangspunkte zweier von dem Vöphelhuue au's an die Kurve gezogenen Tangenten geht.*)

Der Kürze wegen setzen wir

X x= A, y— B B, v bX r A;, y— d Xx B. und bezeichnen in derselben Weise die linken Seiten der auf Null reduzierten Gleichungen der vier andern Paare von Doppeltangenten, in die sich der Kegeischnitt(6) zerlegen lässt, mit den Buchstaben C, D; E, F; G, H; J, K. Ferner seien noch= 0, T,= 0 u. s. w. die Gleichungen von Kegelschnitten. Dann lässt sich unsere Kurve vierter Ordnung in folgenden Formen schreiben:

A B A B.= VI ABC D= G... AB E F= r2 A B G H.

Die vier in diesen Gleichungen vorkommenden Kegelschnitte, welche durch die-

*) Der entsprechende, kür die Kurven vierter Ordnung ohne singulären Puukt geltende Satz wird also- insofern modificiert, als der Doppelpunkt an die Stelle von zwei Serinehuehänk zweier Doppel- tangenten tritt. 4