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(— a)(y—§) T=(a X † b xy+e y*† d x Pey+ 1)² bringen lassen, worin E eine vollständige rationale Funktion zweiten Grades von x und y bedeutet. Nehmen wir nun noch an, dass der Doppelpunkt der Kurve Anfangspunkt der Koordinaten sei, so muss f den Wert Null haben, während in P alle Glieder bis auf dieje- nigen, welche die Variablen in der zweiten Dimension enthalten, verschwinden. Da sich dann W in ein Produkt von zwei rationalen linearen Funktionen der Variablen zerlegen lässt, so hat die Gleichung der Kurve jetzt die Form (1)..)(X— a) G 5) G— p x)(»C q a)= axt+† bxy+ey-† dx †+ey)“*. Von den beiden Geraden y= px und y= q X schneidet jede die Kurve ausser in dem Doppelpunkt noch in zwei zusammenfallenden Punkten; daher sind sie ein Paar von den Tangenten, welche sich von dem Doppelpunkt aus an die Kurve legen lassen. Da diese Tangenten in dem Doppelpunkt die Kurve nicht eigentlich berühren, aber doch in ihm zwei zusammenfallende Punkte mit ihr gemein haben, so sollen sie„uneigentliche Doppeltangenten“ der Kurve genannt werden.

Aus der Gleichung(1) ist dann der Satz zu lesen:

Der Kegelschnitt, welcher durch den Doppelpunkt einer Kurve vierter Ordnung mit einem Doppelpunkt und die vier Berührungspunkte zweier Doppeltangenten gelegt werden kann, geht auch noch durch die Berührungs- punkte zweier uneigentlichen Doppeltangenten der Kurve.

Die Gleichung(1) können wir noch in folgender Form schreiben:

(2)..(x—) G— e)lG— PX)G= ql x)+† 2 à(ax* † b xy †eyt+† de †+ ey) +— a)— gyl= D G— 2) Gä— H+ x*+ b xy eye x †ey)l⸗.

Es ist bekannt, dass die Kurve vierter Ordnung, welche durch die Gleichung (3).. UW= V2 repräsentiert wird, in der U, V und W Funktionen zweiten Grades in x und y bedeuten, als die Enveloppe des veränderlichen Kegelschnittes (4)... 12U 2 à¼L V+ W= 0 mit X als Parameter betrachtet werden kann und dass dieser Kegelschnitt die Kurve in vier Punkten berührt. Wir erkennen, dass die Gleichung(1) die Form der Gleichung(3) erhält,

wenn wir [U=(— 2) G— b) V= aus+† by Tecyz †dx Te y 6) und W E=(y— P x)( d xX) setzen, und dass unsere Kurve als die Enveloppe des Kegelschnitts (6).. G— pD(VO q+ 2X¼(ax* † bxy+ cy* Pdx+ ey)+—) G— ½)= 0 aufgefasst werden kann. Da nun, wenn ein in vier Punkten berührender Kegelschnitt in gerade Linien zerfällt,

jede von beiden in zwei Punkten berührt, so erhält man Doppeltangenten der Kurve, wenn 2