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das Produkt aus seinen Abständen(az und.) von g. und g., gleich dem Quadrat von ma ist, wobei zu beachten ist, dass, wenn die beliebige Gerade p zwischen g, und gso liegt, nur der Teil des geometrischen Ortes brauchbar ist, welcher ausserhalb der Seiten ge und ga gelegen ist, und umgekehrt. Es sind daher, wenn beispielsweise angenommen wird, p liege zwischen g, und gs, zwei Gerade—ͤ und q. zu zeichnen, welche ausserhalb des Parallelo- gramms parallel zu ge und g. verlaufen. Die Schnittpunkte dieser beiden Geraden mit der Geraden p sind zwei Punkte der verlangten Ellipse. Denn für jeden dieser Punkte ist, weil er der Geraden p angehört, das Produkt seiner Abstände von g, und g;: α α= m. ² und, gemäss der Konstruktion der Geraden— und qa, das Produkt

— 2. 1½ aa=— m2 ²; mithin .— 2. 2 2 Ʒ: 4,— m,: ma — 2* h. 2 — h. ¹²: hz.

IV.

Die Doppeltangenten der Kurven vierter Ordnung mit einem Doppelpunkt.

Bei der geringen Beachtung, welche bisher den Kurven vierter Ordnung mit einem Doppelpunkt, im Gegensatz zu den Kurven dieser Ordnung von einem geringeren Geschlecht oder ohne singuläre Punkte, zu Teil geworden ist, dürfte eine Untersuchung der Doppel- tangenten der Kurven mit einem Doppelpunkt nicht ohne Interesse sein. Es soll in dem Fol- genden die Untersuchung der Doppeltangenten dieser Gattung von Kurven nach einer Methode geführt werden, welche mit Erfolg bei den Kurven vierter Ordnung ohne singuläre Punkte angewendet worden ist.*)

Die Kurve vierter Ordnung mit einem Doppelpunkt sei auf ein Parallelkoordinaten- system bezogen, welches so liegt, dass die beiden den Koordinatenachsen parallelen Geraden

X—*, y— 9 Doppeltangenten der Kurve sind. Dann muss für X= die Gleichung der Kurve ein voll- ständiges Quadrat von der Form A y+ By † O):, und für y= ein Quadrat von der Form (D x2+ EXx P F)²

werden. Die Gleichung der Kurve muss sich daher auf die Form

*) S. Salmon, Analytische Geometrie der höheren ebenen Kurven, übers. von Fiedler.